2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:28 
Аватара пользователя
rar писал(а):
функция F(x) называется первообразной ..., если ... функция F(x) дифференцируема ...


1) Следует ли отсюда, что $F(x)$ непрерывна?
2) Непрерывна ли функция $$F(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\cr0,&x<0\end{cases}$$?
3) Может ли эта же функция быть чьей-то первообразной?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:41 
Нашел.
Изображение

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк "Основы математического анализа. Часть I", 7-изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Страница 194.
Вот, вроде она: http://lib.mexmat.ru/books/8056

Добавлено спустя 6 минут 55 секунд:

Все же, возвращаясь к вопросу об интеграле $$\int |x|dx$$ - как же его правильно проинтегрировать?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 19:58 
Нет, давайте сначала разберитесь с интегралом от тождественного нуля. (см. "наводящий вопрос" и последнее сообщение Echo-Offа)

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

А когда разберетесь - возьмите выписанную вами функцию и тупо проверьте, выполняется ли для нее выписанное вами же определение первообразной.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 20:11 
AD писал(а):
А когда разберетесь - возьмите выписанную вами функцию и тупо проверьте, выполняется ли для нее выписанное вами же определение первообразной.


Вы про эту функцию $$\int |x|dx$$ говорите?

Я так понял в нуле эту функцию интегрировать нельзя.

Тогда так:

Если $$x>0$$, то $$\int |x|dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$$
Если $$x<0$$, то $$\int |x|dx=\int (-x)dx=-\int xdx=-\frac{x^2}{2}+C$$

Только такой у меня вариант.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 20:28 
rar. В математике есть такая вещь, называется "определение".

Вот есть функция $$F(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\cr0,&x<0\end{cases}$$.
Есть функция $f(x)\equiv0$.
Есть определение - "функция $F(x)$ называется первообразной для $f(x)$, если <че-то-там>".

Ответьте: выполнено ли вот это <че-то-там> для этих $F$ и $f$? Если да, то почему, если нет, то тоже почему.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 21:01 
Для вашей функции, функция $$F(x)$$ будет первообразной для функции $$f(x)$$ если функция $$F(x)$$ дифференцируема на $$(-\infty, +\infty)$$ и в любой точке этого интервала, в данном случае всей числовой оси, имеет производную $$F'(x)=f(x)$$.

Значит при $$x\geqslant 0$$ функция $$F(x)=1$$ должна иметь производную $$F'(x)=f(x)$$, отсюда следует что при $$x\geqslant 0$$, функция $$f(x)=0$$ должна быть равна $$f(x)=F'(x)$$, ну а $$F'(x)=1'=0$$ значит должно быть $$0=0$$. И это верно! Отсюда следут, что при $$x\geqslant 0$$ функция $$F(x)=1$$ является первообразной для функции $$f(x)=0$$. Для $$x<0$$ думаю, что $$F(x)$$ будет первообразной для $$f(x)=0$$. И она будет первообразной на всей области определения. Ну значит является первообразной.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 22:15 
Является ли в данном случае функция $F(x)$ дифференцируемой на $(-\infty,\infty)$?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 22:57 
Gordmit писал(а):
Является ли в данном случае функция $F(x)$ дифференцируемой на $(-\infty,\infty)$?


Видимо - да.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 23:00 
Аватара пользователя
А может ли фунция, дифференцируемая на всей числовой оси, иметь точки разрыва?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 23:10 
Someone писал(а):
А может ли фунция, дифференцируемая на всей числовой оси, иметь точки разрыва?


Нет! Значит функция не дифференцируема на всей числовой прямой. И что из этого следует? Что F(x) не является первообразно для функции f(x)? Так ведь?

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 23:41 
Аватара пользователя
Так.

 
 
 
 
Сообщение24.06.2008, 00:08 
Ну а теперь следует вернуться к самому предмету темы.
Как же мне, все-таки, правильно проинтегрировать этот интеграл $$\int |x|dx$$?

 
 
 
 
Сообщение24.06.2008, 06:53 
Аватара пользователя
rar писал(а):
Ну а теперь следует вернуться к самому предмету темы.
Как же мне, все-таки, правильно проинтегрировать этот интеграл $$\int |x|dx$$?
Если знаете, как правильно интегрировать, не будь там модуля, то рассмотрите два случая, избавляясь от этого модуля.

 
 
 
 
Сообщение24.06.2008, 17:08 
rar писал(а):
Если $$x=0 \Longrightarrow \int 0\cdot dx=C$$.


rar, мне кажется, осталось неясным, почему написанное Вами назвали нехорошо, а почти то же, отсканированное, нехорошо не назвали.
Вы написали: " если $x$ равен нулю, то некий интеграл чему-то равен".
Вы связали два совершенно несвязанных явления, типа "если наши выиграют, то кривая строго выпукла". То есть:
$$\begin{array}{rcll}
x=0 &\Longrightarrow &\int 0\cdot dx=C &\mbox{~--- это неверно, в этом нет никакой логики}.\\
&& \int 0\cdot dx=C& \mbox{~--- а это верно, и может быть расписано как}\\
f(x)\equiv 0 &\Longrightarrow& \int f(x){\mathrm d}x=\int 0\cdot {\mathrm d}x=C&
\end{array}$$
("если функция тождественно равна нулю, то её первообразная есть произвольная константа...").

Про остальное молчу, не вмешиваюсь в процесс (да и вроде как уже почти во всём разобрались).

 
 
 
 
Сообщение24.06.2008, 18:04 
rar. Решение задачи - это всегда доказательство теоремы. Теоремы о том, что то, что написано в графе "Ответ:", является правильным ответом.

Ответ вы уже знаете. Это $F_0(x)+C$, где
$$F_0(x)=\begin{cases}\frac{x^2}2&,x\ge0\cr-\frac{x^2}2&,x<0\end{cases}$$.

Докажите, что он верный. Тупо проверьте определение первообразной.

Собственно, табличка стандартных интегралов (типа там интеграл от синуса итп) так и составляется - сначала угадывается ответ, а потом считается от него производная.

Кстати, первообразная всегда единственна с точностью до константы. Хотя это могли вам и не доказывать. Так что, доказав, что $F_0(x)$ --- первообразная, вы автоматически знаете, что других решений, кроме $F_0(x)+C$, у задачи нет.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Вот в этом своем сообщении вы действовали правильно. Так держать! Только неправильно утверждали, что $F'(0)=0$.

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

P.S.
rar писал(а):
Значит функция не дифференцируема на всей числовой прямой.
Звучит двусмысленно. Лучше:
rar не писал(а):
Значит функция дифференцируема не на всей числовой прямой.
:wink:

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group