Простые в посл.-ти типа составных (PARI)

[kthxbye]

Хотелось бы что-нибудь упростить в приведенном ниже, чтобы узнать, какие простые содержатся (и какие составные отсутствуют) в последовательности, похожей на последовательность составных.

Пусть $a(n)$ - это A287401: начинаем с нуля и последовательно заменяем $0\to\left\lbrace0,1,2\right\rbrace, 1\to\left\lbrace2,1,0\right\rbrace, 2\to\left\lbrace1,2,0\right\rbrace$.

Пусть

$$b(n)=[a(n+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-2)=1]$$

Здесь используются скобки Айверсона, которые возвращают единицу, если равенство соблюдается (в противном случае ноль).

Пусть

$$c(n)=(c(n-1)+b(n))\bmod 2, c(1)=1$$

Пусть $d(n)$ - это последовательность, такая, что $d(0)=1$, а каждый следующий член - это ближайшее нечетное число (большее предыдущего), у которого второй справа бит в двоичной записи равен $c(2^n)$.

Пусть

$$e(n)=\begin{cases} 4,&\text{если $n=1$;}\\ e(n-1)-(e(n-1)\bmod 2)+2,&\text{если $n$ принадлежит последовательности$ \left\lbrace\frac{d(n)-1}{2}\right\rbrace$;}\\ e(n-1)+1,&\text{в противном случае.} \end{cases}$$

Последняя последовательность начинается так:

$$4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,31,32,34,35,36,38,39,40,42,43$$

Последовательность крайне напоминает последовательность составных, однако в ней содержатся некоторые простые ($31,43$), а некоторые составные ($33$) отсутствуют.

Какие именно? Об этом можно будет что-нибудь сказать, если будет получено больше членов $d(n)$. Можно ли здесь что-нибудь упростить?

[Andrey A]

(Оффтоп)

kthxbye в сообщении #1558940 писал(а):

... что-нибудь упростить?

Если упростить, то и поводов для удивления поубавится. Взять, к примеру, произведение числителей и знаменателей дробей Фаррея на интервале $(0,1)$ — очень просто. Откинув дроби с единицей в числителе (их ровно $n$), получаем ряд, содержащий "в пробелах" все степени простых $\leqslant n^2.$ В сущности решето. Можно и не откидывать ничего, а воспользоваться тем, что дробей с заданным $m$ в знаменателе ровно $\varphi (m)$. Сортируя по количеству, получаем простые $\leqslant n,$ но всё это немножко из пушки по воробьям. A вот вычислить $\sum\limits_{k=1}^{n} \varphi (k)$ есть ли способ проще, не знаю. Для $\sigma (k)$ есть: https://dxdy.ru/post1048178.html#p1048178 (самый конец поста).