Bounded linear operator

[Солунац]

Prove that for bounded linear operator A in Hilbert's space $H$ is true that $dimR(A) < +\infty$ if and only if there exists vectors $a_1, a_2, ..., a_n$ and $b_1, b_2, ..., b_n$ from $H$ so that $Ax = \displaystyle\sum_{i=1}^n \langle x, a_i \rangle b_i$.

[Agathis]

Ортогональное дополнение ядра оператора имеет ту же размерность, что и его образ. Отсюда следует утверждение в одну сторону. В другую - очевидно.

[Narn]

If such vectors exist, then the range of $A$ is obviously finite-dimensional. To prove the converse statement use Riss's theorem (for each bounded linear functional $f$ on a Hilbert space $H$ there exists unique $y \in H$ such that $\forall x$\ \in H$ $f(x) = <x,y>$)

[Солунац]

Спасибо Agathis, спасибо Narn.