Найти момент инерции относительно начала координат тела

[K_r1_T]

Добрый день, задача сформулирована следующим образом: Найти момент инерции относительно начала координат тела,
ограниченного поверхностями $x^2+y^2+z^2=4$, $y=0$, $y=x/\sqrt{3}$ ($x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$)
если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от начала координат

Я перехожу в сферическую систему координат, где

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=r\cos\Psi\cos\theta& \\ &y=r\sin\Psi\cos\theta& \\ &z=z\cos\Psi& \\ &\left\lVert I \right\rVert=r^2\cos\Psi& \\ \end{array} \right.$$

А также плотность обратно пропорциональна, получаем $\rho(x, y, z) = \frac{k}{r(x, y, z)} = \frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Итого $ M = k\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2=4}^{}\frac{ \partial x\partial y\partial z }{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Перевел в сферическую:

$ M = k\int\limits_{0}^{2\pi}\partial\theta\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\partial\Psi\int\limits_{0?}^{2\sin\psi?}\frac{r^2\cos\psi}{r} $ - и я не уверен, что это правильно, помогите решить и прийти к правильному ответу

Ответом является $ M=\frac{2\pi k}{3}$ , $I=2M$, $k$ - коэф. пропорциональности

[Padawan]

Во-первых, проверьте формулы замены и якобиан.

[K_r1_T]

а что в них, я просто ссылался на решение, отображенном здесь: http://pm.samgtu.ru/sites/pm.samgtu.ru/files/stud/posob/mult_int.pdf?ysclid=l4tomnwids26125990, на 44й страницу

[Pphantom]

Тут лучше бы начать не с записи интегралов, а с попытки понять, как выглядит тело и как его момент инерции связан с моментом инерции шара с заданным распределением плотности. После этого внезапно обнаружится, что задача намного проще, чем кажется.

P.S. Кстати, имеющаяся запись момента инерции противоречит условию. Вы сейчас пытаетесь считать момент инерции не относительно точки, а относительно оси (неявно предполагаемой), причем с ошибкой.

[K_r1_T]

Есть тут кто-то, кто может помочь решить до конца, я просто в этой теме нулевый

-- 25.06.2022, 16:14 --

Ответы, которые написаны внизу моей темы правильные из сборника задач, надо, чтобы при решении получились эти ответы, буду защищать эту задачу, поэтому было бы здорово и самому разобраться, но пока я в тупике и никак не сдвинусь с мертвой точки, слишком много упущено(

[Pphantom]

K_r1_T, изложение полного решения учебных задач на этом форуме запрещено. Вам уже даны две подсказки для двух разных способов решения, попробуйте их реализовать.

[K_r1_T]

хорошо, буду думать

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- тайм-аут переварить сказанное и осознать подсказки. И воспользоваться ими.

По результатам внесите исправления и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.