Перестановки с повторениями

[Nartu]

Известно, что перестновки позволяют построить конечные группы - симметрические группы $S_n$. Но наверняка можно составить группы для перестановок с повторениями. Как их получить? Формула и принцип подсчёта их количества выглядит так:

$$\tilde{P}_{n}(m_1,\dots,m_k)=\frac{n!}{\underbrace{m_1!m_2!\dots m_k!}_{m_1+\dots+m_k=n}}$$

Можно сразу увидеть, что мы игнорируем перестановки повторов каждого элемента, а так же оно похоже на факторизацию симметрической группы по ..таким же симметрическим подгруппам? И тут у меня возникло ощущение, что в знаменателе можно получить число, делитель $n!$ , для которго не найдётся соотв. подгруппы нашей $S_n$ с таким порядком.
(А было бы интерестно, если таких ситуаций невозможно было бы получить - есть идея использовать такое для доказательства отсутствия подгрупп кое-какой мощности.)

Ну и само собой, немного странновато, ибо мы факторизуем по нескольким подгруппам. Как это мы получим? - первая версия - просто их умножить.. Если же брать норм.замыкание рассматриваемых подгрупп, то я сомневаюсь, что его мощность будет равна произведению мощностей..агрументов..типа так: $\left\langle H_1, H_2\right\rangle$. Ладно, вот две $ H_1,H_2 \triangleleft G$ (в принципе, можно не требовать нормальность)

$$\exists x, y \in G \mid xy\ne yx \, : \, \left\lbrace xy \sim 1\right\rbrace \in \frac{G}{H_1H_2} \Rightarrow yx\sim1$$

мне кажется, это верно и логично.если кто-то понял вообще
Но как быть для трёх подгрупп (и больше)? Когда, скажем, все произведения различных (не обязательно всех троек из группы) x, y, z различны, но один из них в аналогичном факторе по трём подгруппам эквивалентен 1, следует ли из этого эквивалентность единице остальных (5ти )произведений x,y,z ?
В общем, есть ли всегда изоморфность факторов по (групповому)произведению (нормальных) подгрупп в любом порядке? Ну или в том смысле, который я пытаюсь объяснить.

[iifat]

Группа перестановок получается по факту из интерпретации перестановки как функции. Если интерпретировать перестановку с повторениями как функцию, вы не найдёте даже обратную, так что группы у вас не получится.