Дифференцируемость функции на отрезке

[give_up]

Здравствуйте. В учебнике определение дифференцируемости функции на отрезке выглядит следующим образом.
Функция $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой на отрезке $[a,b]$, если в каждой точке интервала $(a,b)$ у нее существует производная (т.е. она дифференцируема на интервале $(a,b)$), а также если у нее существует правая производная в точке $a$ и левая производная в точке $b$.

Я хочу обобщить это определение на случай, когда отрезок является подмножеством области определения. И вижу два способа это сделать:
1. Функция $f: X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой на отрезке $[a,b] \subset X$, если в каждой точке интервала $(a,b)$ у нее существует производная, а также если у нее существует правая производная в точке $a$ и левая производная в точке $b$. Другими словами, если сужение функции $f(x)$ на отрезок $[a,b]$ является дифференцируемой функцией.
2. Функция $f: X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой на отрезке $[a,b] \subset X$, если у нее существует производная в каждой точке отрезка $[a,b]$.

Какой способ будет более правильным, первый или второй?

[svv]

$X$ тоже может быть отрезком, скажем, $[c,d]$. И вот если $a$ совпадает с $c$, левой производной там не будет.

[give_up]

svv в сообщении #1557497 писал(а):

$X$ тоже может быть отрезком, скажем, $[c,d]$. И вот если $a$ совпадает с $c$, левой производной там не будет.

Это верное замечание. Поэтому в определении 2 выше следует написать $[a,b] \subset \operatorname{int} X$ вместо $[a,b] \subset X$. В таком виде оно выглядит корректным. Но отмечу, что даже при этой поправке оно не будет эквивалентным определению 1, даже если рассмотреть частный случай определения 1 (с отрезком $[a,b] \subset \operatorname{int} X$ вместо отрезка $[a,b] \subset X$).