Треугольники

[svv]

wrest

svv в сообщении #1557366 писал(а):

Количество узлов $(x,y,z)$ целочисленной декартовой решетки, удовлетворяющих условиям
$2\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 5,\quad x+y>z$

Я хотел написать проще — количество целочисленных троек $(x, y, z)$, удовлетворяющих таким-то условиям. Но по какой-то загадочной причине так не написал.

[wrest]

Между прочим, количество "плохих" треугольников для набора отрезков длинами $2,3,4,\dots,n$ равно количеству "хороших" треугольников для набора длин $1,2,3,\dots,n$ Оно тоже растёт как двенадцатая часть куба. Ну а поскольку $C^{n+2}_3=\dfrac{1}{6}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{3}n$ растёт как шестая часть куба, то отнимая от неё двенадцатую, получаем двенадцатую :)

-- 16.06.2022, 17:10 --

svv в сообщении #1557605 писал(а):

Я хотел написать проще — количество целочисленных троек $(x, y, z)$, удовлетворяющих таким-то условиям. Но по какой-то загадочной причине так не написал.

"Количество узлов декартовой решетки" сразу приводит нас к тому, что речь об объеме, а объем растёт как куб, так что ваша формулировка очень даже удачная.

-- 16.06.2022, 17:18 --

vpb в сообщении #1557594 писал(а):

что какие-то технические детали длинноваты окажутся.

Вероятно, там решение распадётся по $n$ на чёт-нечет из-за того, что в замкнутой формуле для хороших треугольников имеется вот такой последний член:
$\dfrac{1}{12}n^3+\dfrac{5}{8}n^2+\dfrac{5}{12}n-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}(-1)^n$
Соотетственно формула для "плохих"
$\dfrac{1}{12}n^3-\dfrac{1}{8}n^2-\dfrac{1}{12}n+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{16}(-1)^n$
Хороших больше чем плохих на
$\dfrac{3}{4}n^2+\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}(-1)^n$

[vpb]

wrest в сообщении #1557609 писал(а):

Вероятно,

Вероятно.

[Arks]

wrest в сообщении #1557544 писал(а):

Ок, и тогда из отрезков $(2,3,4)$ можно сделать $C^{3+3-1}_{3}=10$ треугольников, да? :)

Тогда менее чем в два раза

vpb в сообщении #1557571 писал(а):

Вообще-то, Ваш исходный вопрос вполне законен, как я сейчас понимаю. Без достаточного опыта трудно быть уверенным в том, что самый очевидный путь --- выписать 20 кандидатов на бумажке и вычеркнуть лишние --- является вместе с тем и самым простым и коротким. Неспециалисту и в самом деле выписать 20 строчек (коротких, впрочем) может показаться занятием длинноватым и туповатым. А специалисты знают, что во многих (может, даже и в большинстве ... ) случаях наиболее рациональный способ решения какой-то комбинаторной задачи --- это как раз тупой перебор.

Рациональный способ уже был предъявлен. Предпочитать в любых условиях "малый" перебор это действительно надо иметь, много "опыта" :)

[vpb]

(Оффтоп)

Arks в сообщении #1557641 писал(а):

Рациональный способ уже был предъявлен.

Правильнее сказать, что рациональный способ был известен ТСу с самого начала, но он не был уверен в его рациональности. Хотя для некоторых это вопрос дискуссионный.

Arks в сообщении #1557641 писал(а):

Предпочитать в любых условиях "малый" перебор это действительно надо иметь, много "опыта" :)

Во-первых, не в любых условиях, а во многих случаях, о чем было написано явно.

Во-вторых, слово "малый" у меня написано не было. Он бывает и средний, а иногда и большой. Но в данном случае 20 кандидатов --- это действительно весьма мало. Почему "малый" в кавычках написано --- непонятно. Если для вас 20 случаев, рассмотреть каждый из которых требует 10 сек. от силы (причем время тратится на написание строчки на бумажке, в основном) --- это не малый перебор, то ... говоря более-менее корректно, вы не владеете одним из основных навыков, необходимых для решения математических задач.

Наконец, почему "опыта" написано в кавычках --- вообще непонятно. Очевидно, оппонент намекает, что у меня опыт какой-то не такой. Или вообще на мою якобы глупость. Какие основания для таких намеков --- непонятно. Теоретически, можно было бы это опровергнуть, выложив сюда список работ. Но это было бы долго и хлопотно, поскольку он длинный, да и приватность я берегу.

Вообще, " действительно надо иметь много "опыта" :) " (обратим внимание на знаки препинания) --- это какой-то оскорбительный намек, переход на личности, причем неадекватный реальным качествам личности.

В общем, можно констатировать, что оппонент систематически перевирает и извращает мои слова (очевидно, за отсутствием содержательных аргументов).

[Lia]

Тему закрываю, будет желание дописать что-то по существу - сообщите в ЛС, пожалуйста.