Рассмотрим такие формальные степенные ряды

для каждого

, но думать я буду про них как про элементы в
![$\mathbb{F}_3 [[x]]$ $\mathbb{F}_3 [[x]]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/9/7a98a36eeff05416c96dc938cbd4430882.png)
, то есть коэффициенты рассматриваются по модулю 3. Я хочу доказать, что образы элементов

линейно независимы как вектора в
![$\mathbb{F}_3[x]/x^{3k+1}.$ $\mathbb{F}_3[x]/x^{3k+1}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf1d2268099fae0d966f0fdf90edb52d82.png)
Я попытался доказать это в лоб, но у меня не получилось. А именно, пусть

в
![$\mathbb{F}_3[x]/x^{3k+4}$ $\mathbb{F}_3[x]/x^{3k+4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/9/b0938e59720286f249c79cdb4aafbf3b82.png)
, тогда сравнивая коэффициенты получим, что

если

и

где суммирование слева идёт по всем индексам

, что

. Если же

то

поскольку у

слагаемые имеют вид

. Если же

, то получается что

опять же в допустимой зоне суммирования.
Получается некоторая система линейных уравнений от

, но я не вижу почему она несовместная.
P.S. Я не уверен на 100%, что это утверждение верно. Но с высокой вероятностью оно верно и я проверил его до

.