Игра Банаха-Мазура

[xagiwo]

Есть такая игра:

Цитата:

Когда двум математикам Банаху и Мазуру стало скучно, они стали играть в такую игру. Они определили для себя некоторое множество $A$ на отрезке $[0, 1]$. После этого Банах взял какой-то отрезок, Мазур внутри этого отрезка еще отрезок, потом Банах взял еще отрезок и т. д. При этом они сразу договорились, что длина отрезков будет стремиться к нулю и в пересечении поэтому будет получаться точка. Так вот, если эта точка содержится в $A$, то выиграл первый игрок, а если не содержится, то выиграл второй.

Назовём стратегию игрока сильной, если ход согласно этой стратегии зависит только от выбранного в данный момент отрезка, но не от истории игры.
Правда ли, что если у игрока есть выигрышная стратегия, то есть и сильная выигрышная стратегия?

[mihaild]

Неправда. Легко гуглится статья "Strategies gagnantes dans certains jeux topologiques", в которой это доказывается, но сама статья на французском, и пример хотя бы на английском я найти не смог.

[novichok2018]

Насколько я помню, игра Б-М не такая, она связана с аксиомой детерминированности. Можно хорошую брошюру Кановея про это прочитать.

[Arks]

mihaild в сообщении #1556746 писал(а):

Неправда.

Да ладно, как такое вообще может быть?

-- 07.06.2022, 22:19 --

Я правильно понимаю, что аксиома детерминированности истинна? (хотя существование стратегии доказано только для игр с конечным числом ходов, доказывается от конца, тут же у нас конца нет)

-- 07.06.2022, 22:21 --

Хотя наверное не все так просто с этой игрой, заскок на этом моменте

xagiwo в сообщении #1556745 писал(а):

При этом они сразу договорились, что длина отрезков будет стремиться к нулю и в пересечении поэтому будет получаться точка

Как конкретно они будут друг другу гарантировать, что в конце получится точка, ведь в каждый момент времени они ничем не ограничены (точнее это условие их никак не сковывает ни в один из моментов времени)

-- 07.06.2022, 22:44 --

Я нагуглил немного другое условие задачи
Там нет непонятного требования стремления к точке

[xagiwo]

Arks в сообщении #1556754 писал(а):

Как конкретно они будут друг другу гарантировать, что в конце получится точка, ведь в каждый момент времени они ничем не ограничены

Стратегия сужает множество всевозможных игр (включая те, в которых длина отрезков не стремится к нулю) до тех игр, в которых игрок следовал этой стратегии. Среди этих игр можно выделить те, в которых длина отрезков стремится к нулю. Если для всех таких игр игрок побеждает, следуя своей стратегии, стратегия называется выигрышной. Выверт несколько искусственный, но всё строго.

Впрочем, можно обойтись и без этого: не требуем того, чтобы длина стремилась к нулю, 1-й игрок побеждает, когда пересечение отрезков содержит точку из $A$, второй — в противном случае. Суть это не меняет.

-- 08.06.2022, 02:03 --

novichok2018 в сообщении #1556752 писал(а):

Насколько я помню, игра Б-М не такая, она связана с аксиомой детерминированности.

Ну, эта тоже связана с AD.

novichok2018 в сообщении #1556752 писал(а):

Можно хорошую брошюру Кановея про это прочитать.

Давайте! Что за брошюра?

mihaild в сообщении #1556746 писал(а):

Легко гуглится статья "Strategies gagnantes dans certains jeux topologiques", в которой это доказывается

Спасибо. Правда, скорее всего, не прочитаю.

[novichok2018]

Автор Кановей В.Г., сайт сами знаете, там и возьмите сами.
Аксиомы не бывают истинными или ложными. Получаются две разные математические теории, одна с произвольной (несчётной) аксиомой выбора, другая с аксиомой детерминированности. Они в общем положении: часть общепринятых результатов верна в обеих теориях, в том числе всё, что выводится из счётной аксиомы выбора (выбрали отрезок, в нём точку, потом подотрезок, в нём точку итд.), часть верна в одной теории и неверна в другой и наоборот.

[xagiwo]

novichok2018 в сообщении #1556797 писал(а):

Автор Кановей В.Г.

Как я понимаю, Кановей писал про AD довольно много. Как называется брошюра?

[novichok2018]

Аксиома выбора и aксиомa детерминированности.
Очень хорошо и понятно написанный текст. Сам хотел бы так писать, но не получается...

[mihaild]

Arks в сообщении #1556754 писал(а):

Да ладно, как такое вообще может быть?

А в чем проблема?

Arks в сообщении #1556754 писал(а):

Я правильно понимаю, что аксиома детерминированности истинна?

Какая связь?

xagiwo в сообщении #1556783 писал(а):

Спасибо

Я тут сообразил что это не совсем ответ на ваш вопрос - там они строят какое-то специальное пространство, результат с которого не факт что переносится на $\mathbb R$.

[svv]

Википедия писал(а):

Многие следствия конкурирующих аксиом в теории множеств и топологии противоположны друг другу. С помощью аксиомы выбора доказано, что существуют множества вещественных чисел, неизмеримые по Лебегу; из аксиомы детерминированности следует, что таких множеств не существует — все множества вещественных чисел измеримы. По-разному решается проблема континуума

Интересно, а есть ли примеры "согласия" AC и AD, то есть утверждений, которые недоказуемы в ZF (это важно), но доказуемы как в ZFC, так и в ZF+AD?

[Nemiroff]

mihaild в сообщении #1556831 писал(а):

там они строят какое-то специальное пространство

Там вроде бы $\mathbb{R}$ с comeagre топологией.

[mihaild]

svv в сообщении #1556837 писал(а):

а есть ли примеры "согласия" AC и AD, то есть утверждений, которые недоказуемы в ZF (это важно), но доказуемы как в ZFC, так и в ZF+AD?

Аксиома счетного выбора (декартово произведение счетного семейства непустых множеств непусто), и всякие полезные её следствия - например счетность объединения счетного семейства счетных множеств.

[novichok2018]

да, то есть основы классического матана сохраняются и там, и там.

[svv]

mihaild, спасибо.

[Arks]

mihaild в сообщении #1556831 писал(а):

А в чем проблема

Ну пусть мы доиграли до отрезка $[0.2,0,8]$, тогда продолжение игры можно рассматривать как новую игру с данными начальными условиями, и ее стратегии не будут зависеть от наших прошлых ходов (не важно, как мы пришли к этому состоянию)