Число дискретных собственных значений

[TelmanStud]

Доброго времени суток.
Пытаюсь доказать теорему:
Число дискретных собственных значений уравнения
$\psi_{xx}(x)+u(x)\psi(x)=-p^2\psi(x),\,\, -\infty<x<+\infty$, ($u$ действительная и достаточно быстро стремится к нулю на бесконечностях)
равно числу действительных нулей $\xi_j$ функции $\varphi(x)$, определяемой уравнением
$\varphi_{xx}(x)=u(x)\varphi(x)$ с граничными условиями
$\varphi(-\infty)=1,\,\,\varphi_x(-\infty)=0$

Подскажите пожалуйста с чего начать, потому что не вижу идей связывающих спектр одного с числом нулей другого уравнения.

[lel0lel]

Осцилляционная теорема, только последний дискретный уровень не рассматриваем, а выбираем состояние выше (не выходя в инфинитную область. Можно изменить гран условия в исходном уравнении и доказать, что число дискретных сз будет таким же плюс один-пограничный, соответствующий нулевому с.з.

-- Пн июн 06, 2022 20:43:24 --

Кстати единичку в гран условии можно заменить на любую константу.

[TelmanStud]

lel0lel в сообщении #1556642 писал(а):

Осцилляционная теорема,...

Какая именно? Теорема Штурма?

[lel0lel]

Теорема легко гуглится, её суть -- у одномерного уравнения Шредингера число нулей волновой функции стационарного состояния, соответствующего дискретному спектру равно номеру уровня, если нумеровать с нуля. То есть ВФ основного состояния (если оно есть) не имеет нулей, первое возбуждённое имеет один нуль и так далее пока дискретный спектр не прекратится.

-- Вт июн 07, 2022 18:54:25 --

Доказательство несложное, используется линейная независимость ВФ, соответствующих различным сз дискретного спекра, по-моему есть во многих учебниках по КМ. В математике, возможно, что эта теорема носит другое название.

[TelmanStud]

lel0lel
Да осцилляционная теорема Штурма. Можете чуть подробнее расписать доказательство

[lel0lel]

В этих лекциях изложена идея доказательства

(Оффтоп)

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://teach-in.ru/file/methodical/pdf/qt-part1-M.pdf&ved=2ahUKEwiGqKLO86D4AhWUUXcKHbqmAMYQFnoECAcQAQ&usg=AOvVaw0zjqm37aB3zfvUIRK4i7fe

смотреть дискретный спектр

[lel0lel]

Сейчас подумал, что речь не про осцилляционую теорему Штурма-Лиувилля, её то доказательство легко посмотреть. Если речь об исходной задаче, то примерно такие рассуждения: доказываем, что изменение граничного условия не меняет число сз в отрицательной области, это можно выполнить дифференцируя функционал по параметру сдвига гранусловия, там вероятно получится, что все сз приобретают экспонициальный множитель, то есть дискретные уровни остаются в области дискретного спектра только немного смещаются. Но с измененным гранусловием появляется ещё сз равное нулю, раньше его не было, так как соответствующее решение было равно нулю. Его то, это новое решение, используем для определения числа сз в отрицательной области.

[TelmanStud]

lel0lel в сообщении #1556934 писал(а):

доказываем, что изменение граничного условия не меняет число сз в отрицательной области

Вы хотите сказать, что в
$-\psi_{xx}(x)+u(x)\psi(x)=-p^2\psi(x),\,\, -\infty<x<+\infty$
число отрицательных дискретных собственных значений не меняется, при изменении граничных условий?

[lel0lel]

Это смотря как менять гранусловия, можно такое накрутить, что отрицательных сз не будет совсем. Но мы меняем вполне конкретным образом, не очень сильно, так, что функции "квадратично" интегрируемы, но только с дополнительным слагаемымым, типа функции Хевисайда. Да, в этом случае число отрицательных сз не изменится.

[TelmanStud]

lel0lel
Можете если не сложно начать доказательство.

[lel0lel]

Давайте сначала поймём саму суть. Мы изменили ассимптотику так, что растущих экспонент на бесконечностях нет, либо они есть но коэффициент перед ними стремится к нулю. Помните как решается задача на сз внутри прямоугольной ямы конечной глубины. Находим решения в каждой области, где потенциал константа, требуем исчезновения растущих экспонент на бесконечностях, накладываем условия сшивки на границах. Итого получаем уравнение на уровни энергии. Что изменится в этом случае? Да ничего, только в условии на бесконечности один из коэффициентов будет не чистый ноль, а бесконечно маленькая величина. Это никак не отразится на сз. Формально, конечно сдвиг будет, но бесконечно малый. То есть не только количество отрицательных уровней сохранится, но и их значения будут теми же. Это только на первый взгляд кажется удивительно, а на второй нормально. Когда ищем уровни внутри ямы, то всё что нужно, это исчезновение растущих экспонент.

[svv]

Попробую и я наглядно описать ситуацию. Дана потенциальная яма $U(x)$, где $U\to 0$ очень быстро при $x\to\pm\infty$. Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрёдингера $-\psi''(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x)$ при $E=-p^2<0$.

Вдали от потенциальной ямы справедливо приближенное уравнение $-\psi''(x)=-p^2\psi(x)$. Оно имеет решение $\psi(x)=Ae^{px}+Be^{-px}$, причём вдали слева и вдали справа от ямы константы $A$ и $B$, конечно, различны. Мы хотим, чтобы далеко слева от ямы была только экспонента $e^{px}$, а далеко справа от ямы только $e^{-px}$. Но беда в том, что при произвольном $E<0$, даже если мы обеспечим слева чистую $e^{px}$, справа будет какая-то линейная комбинация обеих экспонент, а она стремится к $\infty$ при $x\to +\infty$ и нефизична.

Допустим, мы не умеем решать задачу Штурма-Лиувилля, но умеем быстро решать задачу Коши. Выберем некоторое $E<0$, затем $x_1<0$ далеко слева от ямы и потребуем $\psi(x_1)=e^{x_1}, \psi'(x_1)=pe^{x_1}$. Исходя из этих "начальных условий" и ДУ, будем строить решение при $x>x_1$, пока не зайдём далеко вправо за яму. И посмотрим, каковы там коэффициенты при экспонентах. Если имеем только $Be^{-px}$, нам повезло: мы нашли собственное значение $E$ и собственную функцию $\psi(x)$.
Затем немного увеличим $E$ и опять проверим, является ли оно собственным, и так далее.

Эволюцию $\psi(x)$ при увеличении $E$ лучше один раз увидеть (см. картинки в оффтопе). Когда $E$ проходит очередное собственное значение, у $\psi(x)$ рождается на $+\infty$ новый нуль, который при дальнейшем увеличении $E$ движется влево. В результате, при достижении $E=0$ (которое не является с.з.) у соответствующей $\psi(x)$ (которая не является собственной функцией) накопится столько нулей, сколько "по пути" встретилось собственных значений $E$.

(Картинки)

Синяя кривая $U(x)$, красная $E$, зелёная $\psi(x)$. Для наглядности $\psi(x)$ строится "от уровня" $E$.

[TelmanStud]

svv
Спасибо за Ваш труд с изображениями.
Итак если я правильно понял:
Пусть имеется $N$ собственных значений $0<p_N<p_{N-1}<...<p_{1}$, $\quad(E_1<E_{2}<...<E_{N}<0)$. При такой нумерации $j$-e состояние имеет $j-1$ нулей.

Тогда функция $\psi(x,p)$ для связанных собственных состояний имеем $\psi_j\sim e^{\pm p_j x}$ при $x\to \mp \infty$.
Рассматривая $\psi(-\infty,p)=1,\psi'(-\infty,p)=0$ мы добиваемся, что на $-\infty$ решение задачи Коши будет вести себя аналогично решению задачи на собственные значения (?).
Далее
$p\in [\varepsilon,p_N)$ имеет $N$ нулей, ($0<\varepsilon<p_N$);
$p\in [p_N,p_{N-1})$ имеет $N-1$ нулей;
..............
$p\in[p_2,p_1)$ имеет $1$ нуль;
$p\in[p_1,+\infty)$ имеет $0$ нулей.
Но для этих рассуждений и для последнего бесконечно маленького шага от $\varepsilon \to 0$ необходима непрерывная зависимость
решений задачи на собственные значения от параметра $p$. (Зависимость для задач Коши мне известна, а вот про Ш-Л задачу не в курсе)

(Оффтоп)

Я попытался для интереса восстановить Ваш потенциал, не смог угадать :-) . Не подскажете какой был?

-- 13.06.2022, 17:38 --

lel0lel в сообщении #1557179 писал(а):

Помните как решается задача на сз внутри прямоугольной ямы конечной глубины. Находим решения в каждой области, где потенциал константа, требуем исчезновения растущих экспонент на бесконечностях, накладываем условия сшивки на границах. Итого получаем уравнение на уровни энергии. Что изменится в этом случае? Да ничего, только в условии на бесконечности один из коэффициентов будет не чистый ноль, а бесконечно маленькая величина. Это никак не отразится на сз. Формально, конечно сдвиг будет, но бесконечно малый.

Не совсем Вас понял. Вы хотите сказать, что скорость "падения" потенциала на бесконечности не влияет на количество сз?
Если я возьму потенциалы с одинаковой глубиной
$u_1(x)=-2 \text{sech}^2x$,
$u_2(x)=-2 \text{sech}^2(0.5 x)$
то в первом случае только одно собственное значение $(E_1=-1)$,
а у второго три $(E_1\approx-1.406,\,E_2\approx-0.471,\,E_3\approx-0.035 )$ .

[lel0lel]

TelmanStud в сообщении #1557266 писал(а):

. Вы хотите сказать, что скорость "падения" потенциала на бесконечности не влияет на количество сз?

Не скорость падения потенциала, а накладываемые ассимптотики на бесконечностях, лишь бы в них не было растущих экспонент. Кстати, я вначале не заметил, что вторая задача это задача Коши, а не спектральная. Почему-то считал, что там второе условие на плюс бесконечности, а оно на производную на минус бесконечности. Впрочем, полезно понять, что если бы мы вторую задачу выбрали с условиями исчезновения растущих экспонент на бесконечностях, то было бы нулевое сз, а его сф имела бы нужно число нулей.

[TelmanStud]

lel0lel в сообщении #1557269 писал(а):

Впрочем, полезно понять, что если бы мы вторую задачу выбрали с условиями исчезновения растущих экспонент на бесконечностях, то было бы нулевое сз, а его сф имела бы нужно число нулей.

Вроде кажется, что так. Потому, что $E=0$ будет максимальным (последним) сз.

Хотя просто получится тривиальное решение.