Равномерная сходимость несобственного интеграла 1-го рода

[Metro]

Есть функция $\frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} + a^{2}}\frac{\sin x}{x}$ и производная по параметру $a$ от нее $\frac{-4xa}{(x^{2} + a^{2})^{2}}\sin x$. Данных по параметру $a$ нет.
Надо доказать что $\int_{b}^{+\infty} f'_a(x) dx$ - сходится равномерно по одному из 4 четырех признаков: Вейерштрасса, Дирихле, Дини, Абеля. Правда по итогу получается, что не по одному из этих признаков нету равномерной сходимости.
По признаку Вейерштрасса: $|f(x,a)| \le g(x)$, а $$\int_{b}^{+\infty} g(x) dx$ - сходится. Если считать, что $g(x) = x\sin x$, то этот признак уже вычеркиваем, т.к. $\int_{b}^{+\infty}x\sin x dx$ - расходится.
По признаку Абеля: Тут примерно такая же ситуация, по условию $$\int_{b}^{+\infty} f(x) dx$ - сходится, а $g(x,a)$ равномерно ограничена в [$a$,$+\infty$). Но в данном случае у нас $f(x) = x\sin x$, а значит этот интеграл не будет сходится.
По признаку Дини: Одно из условий это $f(x,a) \ge 0$ и $f(x,a)$ непрерывна , но т.к. параметр $a$ не определен и неизвестно больше 0 он или нет, то и не ясно $$\frac{-4xa}{(x^{2} + a^{2})^{2}}\sin x \ge 0$ или нет.
По признаку Дирихле: $g(x) \to 0$ при $x \to \infty$, а $f(x,a)$ имеет равномерно ограниченную первообразную. Однако $g(x) = x\sin x$ и при $x \to \infty$ $g(x)$ не будет стремится к 0.
Я знаю что по итогу этот интеграл должен сходится, но если верить моим рассуждениям то это совсем не так. Где я мог ошибиться?

[Otta]

Что-то у Вас ни данных об интеграле нет (пределы интегрирования?), ни данных о параметре.
Хотя должно быть и то, и другое. Как говорить о равномерной сходимости, не зная множества?

И есть у меня некое подозрение. Какова исходная задача?

[Metro]

Otta в сообщении #1555888 писал(а):

Что-то у Вас ни данных об интеграле нет (пределы интегрирования?), ни данных о параметре.
Хотя должно быть и то, и другое. Как говорить о равномерной сходимости, не зная множества?

И есть у меня некое подозрение. Какова исходная задача?

Данные по параметру, как я уже говорил, отсутствуют.
А исходная задача такова: вычислить несобственный интеграл $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} + a^{2}}\frac{\sin x}{x} dx$ применяя дифференцирование или интегрирование по параметру. Однако для дифференцирования по параметру, требуется выполнение 3 условий:
1) Непрерывность функции (той что под интегралом) и ее производной (по параметру)
2) Проверить на сходимость $\int_{b}^{\infty} f(x,a) dx$
3) Проверить на равномерную сходимость $\int_{b}^{\infty} f'_a(x,a) dx$
Выполнение первых 2-х условий я доказал, а вот на 3 застрял, ибо по итогу не один из признаков мне не подходит.

[Otta]

Metro в сообщении #1555889 писал(а):

А исходная задача такова: вычислить несобственный интеграл $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} + a^{2}}\frac{\sin x}{x} dx$ применяя дифференцирование или интегрирование по параметру.

Вот так и формулируйте.
Пункт (2) не надо проверять, должна быть сходимость хотя бы в одной точке.
Пункт (3) -- дифференцирование локальное свойство. Даже если условие (3) не выполнено на всей вещ. прямой, то берем фиксированную точку $a_0$, достаточно дифференцируемости в ее окрестности. Но по-моему, оно выполнено. Вейерштрасса должно хватить за глаза.

[Metro]

Otta в сообщении #1555891 писал(а):

Metro в сообщении #1555889 писал(а):

А исходная задача такова: вычислить несобственный интеграл $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} + a^{2}}\frac{\sin x}{x} dx$ применяя дифференцирование или интегрирование по параметру.

Но по-моему, оно выполнено. Вейерштрасса должно хватить за глаза.

По Вейерштрассу $\int_{b}^{+\infty}g(x)dx$, где $g(x) = x\sin x$ должен сходится, но интеграл рассходится.

[Otta]

Metro в сообщении #1555920 писал(а):

По Вейерштрассу $\int_{b}^{+\infty}g(x)dx$, где $g(x) = x\sin x$ должен сходится, но интеграл рассходится.

При чем тут Вейерштрасс? Может, Вы просто плохо оценили?

-- 31.05.2022, 14:23 --

Это раз. А два: я бы начала не с этого, а с конечного результата. Ну пусть, пусть себе все можно. Дифференцировать, что там еще. Что хотите, то и можно. Что Вы будете с этим делать?