2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 a(16n+k)=b(16n+k)-c(16n) для n>=0, 0<k<16 где с(n)=b(n)-a(n)
Сообщение30.05.2022, 10:02 
Аватара пользователя


22/11/13
02/04/25
549
Пусть $a(n)$ - это A339970 = A329697$($A019565$(2n))$.

Последовательность начинается так:
$$0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 4$$
Также пусть
$$\ell(n)=\left\lfloor\log_{2}(n)\right\rfloor$$
и
$$T(n,k)=\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor\operatorname{mod}2$$
Здесь $T(n,k)$ - это $(k+1)$-й справа бит в двоичном представлении $n$.

Тогда мы можем задать следующую последовательность
$$b(n)=\sum\limits_{k=0}^{\ell(n)}\sum\limits_{j=0}^{\ell(n)-k}(-1)^{k}(j+1)T(n,j+k)$$
Начинается она так:
$$1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 5$$

Пусть $c(n)=b(n)-a(n)$. Здесь $c(0)=0$.

Гипотеза: для $n\geqslant0$, $0 < k < 16$ будем иметь
$$a(16n+k)=b(16n+k)-c(16n)$$

Существует ли способ как-нибудь доказать это? И еще: можно ли как-нибудь упростить выражение для $b(n)$?

-- 30.05.2022, 12:00 --

Пусть $q(n)$ это A001511.

Пусть
$$d(n)=\left\lfloor\frac{(n+2)^2}{4}\right\rfloor$$

Пусть $e(n)=d(q(n))$.

Пусть $$f(n)=\begin{cases}
e(\frac{n}{4}),&\text{если $n\operatorname{mod}4=0$;}\\
1,&\text{в противном случае.}
\end{cases}$$

Пусть
$$g(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(k), g(1)=0$$

Гипотеза:
$$b(n)=n-g(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1)$$

Для этой гипотезы тоже хотелось бы хоть какой-нибудь намек на доказательство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group