Пара делимостей

[maxal]

Пусть положительные целые числа $m,n$ удовлетворяют делимостям:

$$\begin{cases} m\mid 2n^2-2n+1\\ n\mid 2m^2-2m+1 \end{cases}$$

Прыжки Виета здесь не работают, однако похоже, что только два три значения

$$k:=\frac{2m^2+2n^2-2m-2n+1}{mn}$$

порождают бесконечные серии решений, а именно $k\in\{9,13,25\}$.

Доказать или опровергнуть описать все такие $k$.

[nnosipov]

Пара $(m,n)=(21493,266933)$ дает $k=25$ и может быть размножена. Было бы удивительно, если бы контрпримера не нашлось.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1555746 писал(а):

Пара $(m,n)=(21493,266933)$ дает $k=25$ и может быть размножена. Было бы удивительно, если бы контрпримера не нашлось.

Да, я $k=25$ тоже обнаружил чуть позднее. Так может $k\in\{9,13,25\}$ и всё? Или. если их бесконечно много, то как описать?

-- Sat May 28, 2022 17:27:47 --

Похоже, что как минимум искомые $k$ являются подмножеством A328223. Я создал 'эту последовательность в связи с ответом на MSE - нужно бы проверить, если ли тут связь.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1555747 писал(а):

Так может $k\in\{9,13,25\}$ и всё? Или. если их бесконечно много, то как описать?

Еще $k=289$ точно подходит (есть решения в натуральных числах). Видимо, для многих (но не для всех) $k=(2l+1)^2$ есть решения в целых числах и, вероятно, в натуральных числах. Как-то не верится, что есть простое описание. С поиском новых значений $k$ тоже скоро начнутся проблемы, ибо размеры соответствующих пар $(m,n)$ стремительно растут.

[maxal]

Рассмотрим комплементарные пары:

$$m':=\frac{2n^2-2n+1}{m}$$

$$n':=\frac{2m^2-2m+1}{n}$$

Удовлетворяют ли они каким-то интересным свойствам?

[dmd]

Система
$\begin{cases} ms = 2n^2-2n+1\\ n t = 2m^2-2m+1\\ kmn = 2m^2+2n^2-2m-2n+1 \end{cases}$

сводится к Пеллю

$\Big((k^2 - 16) s + 4 (4 + k)\Big)^2 - (k^2 - 16) \Big(4 t - (4 + k s)\Big)^2 = 32 k (4 + k)$

Проверка в pari/gp показала, что решения его существуют только для

$k=$[9, 13, 25, 85, 97, 145, 153, 265, 277, 289, 369, 373, 397, 421, 445, 457, 477, 505, 637, 657, 673, 765, 793, 925,..]

[maxal]

dmd в сообщении #1555795 писал(а):

$\Big((k^2 - 16) s + 4 (4 + k)\Big)^2 - (k^2 - 16) \Big(4 t - (4 + k s)\Big)^2 = 32 k (4 + k)$

Ну да, именно это уравнение объясняет, почему $k$ и $k+4$ обязаны быть суммами двух квадратов.

dmd в сообщении #1555795 писал(а):

Проверка в pari/gp показала, что решения его существуют только для

$k=$[9, 13, 25, 85, 97, 145, 153, 265, 277, 289, 369, 373, 397, 421, 445, 457, 477, 505, 637, 657, 673, 765, 793, 925,..]

Вы проверили наличие бесконечных серий или единичных решений?

[dmd]

Честно не знаю, как проверить бесконечные серии решений.

[maxal]

dmd в сообщении #1555834 писал(а):

Честно не знаю, как проверить бесконечные серии решений.

Нужно рассматривать решения по модулю детерминанта линейной системы (в данном случае $4(k^2-16)$), находить их период и смотреть если ли внутри периода решения дающие целые $s,t$. Подозреваю, что тут всякое такое решение является членом серии (линейной рекурренты второго порядка), однако доказательство может быть довольно трудоемким.
Как бы там ни было, я проверил $9, 13, 25, 85, 97, 145$ на наличие серий решений - они имеют $1, 2, 2, 4, 2, 2$ серий соответственно.

-- Mon May 30, 2022 09:12:29 --

Кстати, для $k=25$ обе серии состоят из отрицательных чисел.
Если рассматривать такие решения, то у вас в списке пропущены $k=61, 81, 121, \dots$

[rightways]

topic106040.html

[maxal]

rightways в сообщении #1555874 писал(а):

https://dxdy.ru/topic106040.html

Да, хорошо забытое старое, только там спрашивалось про одну серию решений, а здесь - про все. Имеет смысл уточнить про прыжки Виета, так как там я сказал, что они (будучи обобщенными) работают, а здесь - что нет. Они на самом деле и работают, и не работают. Работают в том смысле, что из одного решения можно получать другие (хотя здесь решения не являются парами соседних членов какой-то последовательности), а не работают в том смысле, что здесь, похоже, набор примитивных решений является бесконечным.

[maxal]

Перепроверил $k<725$. Серии положительных решений есть только для

9, 13, 85, 97, 145, 153, 265, 289, 369, 397, 421, 445, 457, 477, 505

[nnosipov]

Можно здесь аккуратно доказать, что таких $k$ бесконечно много?

[maxal]

nnosipov в сообщении #1555992 писал(а):

Можно здесь аккуратно доказать, что таких $k$ бесконечно много?

Хотелось бы, но непонятно как. Пока что все результаты чисто вычислительные, я для доказательства нужно решать пресловутое уравнение Пелля-Ферма в алгебраическом виде.

[nnosipov]

Вот (технически) более простой пример подобной ситуации: описать все целые значения дроби

$$k=\frac{2x^2-y^2}{xy-1},$$

где $x$, $y$ предполагаются произвольными целыми числами. Понятно, что значения $k$ вида $a^2$ или $-2b^2$ ($a$, $b$ --- целые) возможны все. Но есть и дополнительные значения: например, в области положительных $k$ это $7$ и $73$ (эти extra values всегда нечетны). Однако непонятно, как доказывать, что этих дополнительных значений будет хотя бы бесконечно много (это кажется наиболее правдоподобной гипотезой). Проблема та же, что и выше: неконтролируемое разложение $\sqrt{D}$ в цепную дробь, где $D$ --- дискриминант (в моем примере $D=k^2-8$, а в изначальном $D=k^2-16$).

По поводу доказательства бесконечности возможных целых значений рациональных дробей. Вот единственный пример такого рода, что я умею делать: topic134309.html. А именно, по модулю одной недоказанной гипотезы доказывается, что множество нечетных целых значений дроби

$$\frac{2(a+b+1)^2}{ab}$$

бесконечно (здесь $a$ и $b$ предполагаются натуральными). Было бы интересно увидеть другие примеры.