2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пара делимостей
Сообщение28.05.2022, 22:30 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Пусть положительные целые числа $m,n$ удовлетворяют делимостям:
$$\begin{cases}
m\mid 2n^2-2n+1\\
n\mid 2m^2-2m+1
\end{cases}$$
Прыжки Виета здесь не работают, однако похоже, что только два три значения
$$k:=\frac{2m^2+2n^2-2m-2n+1}{mn}$$
порождают бесконечные серии решений, а именно $k\in\{9,13,25\}$.

Доказать или опровергнуть описать все такие $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение29.05.2022, 00:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пара $(m,n)=(21493,266933)$ дает $k=25$ и может быть размножена. Было бы удивительно, если бы контрпримера не нашлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение29.05.2022, 00:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1555746 писал(а):
Пара $(m,n)=(21493,266933)$ дает $k=25$ и может быть размножена. Было бы удивительно, если бы контрпримера не нашлось.

Да, я $k=25$ тоже обнаружил чуть позднее. Так может $k\in\{9,13,25\}$ и всё? Или. если их бесконечно много, то как описать?

-- Sat May 28, 2022 17:27:47 --

Похоже, что как минимум искомые $k$ являются подмножеством A328223. Я создал 'эту последовательность в связи с ответом на MSE - нужно бы проверить, если ли тут связь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение29.05.2022, 07:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1555747 писал(а):
Так может $k\in\{9,13,25\}$ и всё? Или. если их бесконечно много, то как описать?
Еще $k=289$ точно подходит (есть решения в натуральных числах). Видимо, для многих (но не для всех) $k=(2l+1)^2$ есть решения в целых числах и, вероятно, в натуральных числах. Как-то не верится, что есть простое описание. С поиском новых значений $k$ тоже скоро начнутся проблемы, ибо размеры соответствующих пар $(m,n)$ стремительно растут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение29.05.2022, 19:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Рассмотрим комплементарные пары:
$$m':=\frac{2n^2-2n+1}{m}$$
$$n':=\frac{2m^2-2m+1}{n}$$
Удовлетворяют ли они каким-то интересным свойствам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение29.05.2022, 20:11 


16/08/05
1146
Система
$\begin{cases}
ms = 2n^2-2n+1\\
n t = 2m^2-2m+1\\
kmn = 2m^2+2n^2-2m-2n+1
\end{cases}$

сводится к Пеллю

$\Big((k^2 - 16) s + 4 (4 + k)\Big)^2 - (k^2 - 16) \Big(4 t - (4 + k s)\Big)^2 = 32 k (4 + k)$

Проверка в pari/gp показала, что решения его существуют только для

$k=$[9, 13, 25, 85, 97, 145, 153, 265, 277, 289, 369, 373, 397, 421, 445, 457, 477, 505, 637, 657, 673, 765, 793, 925,..]

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение30.05.2022, 07:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
dmd в сообщении #1555795 писал(а):
$\Big((k^2 - 16) s + 4 (4 + k)\Big)^2 - (k^2 - 16) \Big(4 t - (4 + k s)\Big)^2 = 32 k (4 + k)$

Ну да, именно это уравнение объясняет, почему $k$ и $k+4$ обязаны быть суммами двух квадратов.
dmd в сообщении #1555795 писал(а):
Проверка в pari/gp показала, что решения его существуют только для

$k=$[9, 13, 25, 85, 97, 145, 153, 265, 277, 289, 369, 373, 397, 421, 445, 457, 477, 505, 637, 657, 673, 765, 793, 925,..]

Вы проверили наличие бесконечных серий или единичных решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение30.05.2022, 08:21 


16/08/05
1146
Честно не знаю, как проверить бесконечные серии решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение30.05.2022, 16:21 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
dmd в сообщении #1555834 писал(а):
Честно не знаю, как проверить бесконечные серии решений.

Нужно рассматривать решения по модулю детерминанта линейной системы (в данном случае $4(k^2-16)$), находить их период и смотреть если ли внутри периода решения дающие целые $s,t$. Подозреваю, что тут всякое такое решение является членом серии (линейной рекурренты второго порядка), однако доказательство может быть довольно трудоемким.
Как бы там ни было, я проверил $9, 13, 25, 85, 97, 145$ на наличие серий решений - они имеют $1, 2, 2, 4, 2, 2$ серий соответственно.

-- Mon May 30, 2022 09:12:29 --

Кстати, для $k=25$ обе серии состоят из отрицательных чисел.
Если рассматривать такие решения, то у вас в списке пропущены $k=61, 81, 121, \dots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение30.05.2022, 18:07 


24/12/13
351
topic106040.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение30.05.2022, 18:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
rightways в сообщении #1555874 писал(а):
https://dxdy.ru/topic106040.html

Да, хорошо забытое старое, только там спрашивалось про одну серию решений, а здесь - про все. Имеет смысл уточнить про прыжки Виета, так как там я сказал, что они (будучи обобщенными) работают, а здесь - что нет. Они на самом деле и работают, и не работают. Работают в том смысле, что из одного решения можно получать другие (хотя здесь решения не являются парами соседних членов какой-то последовательности), а не работают в том смысле, что здесь, похоже, набор примитивных решений является бесконечным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение31.05.2022, 18:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Перепроверил $k<725$. Серии положительных решений есть только для
Код:
9, 13, 85, 97, 145, 153, 265, 289, 369, 397, 421, 445, 457, 477, 505

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение31.05.2022, 19:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Можно здесь аккуратно доказать, что таких $k$ бесконечно много?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение31.05.2022, 20:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1555992 писал(а):
Можно здесь аккуратно доказать, что таких $k$ бесконечно много?

Хотелось бы, но непонятно как. Пока что все результаты чисто вычислительные, я для доказательства нужно решать пресловутое уравнение Пелля-Ферма в алгебраическом виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара делимостей
Сообщение08.06.2022, 12:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вот (технически) более простой пример подобной ситуации: описать все целые значения дроби $$k=\frac{2x^2-y^2}{xy-1},$$ где $x$, $y$ предполагаются произвольными целыми числами. Понятно, что значения $k$ вида $a^2$ или $-2b^2$ ($a$, $b$ --- целые) возможны все. Но есть и дополнительные значения: например, в области положительных $k$ это $7$ и $73$ (эти extra values всегда нечетны). Однако непонятно, как доказывать, что этих дополнительных значений будет хотя бы бесконечно много (это кажется наиболее правдоподобной гипотезой). Проблема та же, что и выше: неконтролируемое разложение $\sqrt{D}$ в цепную дробь, где $D$ --- дискриминант (в моем примере $D=k^2-8$, а в изначальном $D=k^2-16$).

По поводу доказательства бесконечности возможных целых значений рациональных дробей. Вот единственный пример такого рода, что я умею делать: topic134309.html. А именно, по модулю одной недоказанной гипотезы доказывается, что множество нечетных целых значений дроби $$\frac{2(a+b+1)^2}{ab}$$ бесконечно (здесь $a$ и $b$ предполагаются натуральными). Было бы интересно увидеть другие примеры.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group