2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 08:39 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Решения уравнения $3x^2 - 2y^2=1$ в целых числах.
Частично приведены собственные попытки ответа на вопросы.

1. Существуют ли решения?
Да, существуют. Пример $9, 11$.

2. Решений конечно или бесконечно?
Бесконечно. Заметил, что уравнение похоже на уравнение Пелля, и предположил, что так же будет бесконечная серия решений. Проверил в ВольфрамАльфа - так и есть.
3. Вывод рекуррентной формулы для решений.
Тут меня не хватило :-(. Прошу помочь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 09:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EUgeneUS в сообщении #1555385 писал(а):
Прошу помочь...
Вас интересует именно сам вывод (доказательство полноты предъявленных рекуррентных формул) или достаточно знать правильный ответ?

Upd. Нашел у себя формулу для решений уравнения $(Q+1)u^2-Qv^2=1$ для произвольного натурального $Q$. Так что могу обрадовать: ответ имеет наиболее простую возможную форму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 09:26 


26/08/11
2057
EUgeneUS в сообщении #1555385 писал(а):
Прошу помочь...
Если $(x,y)$ является решением уравнения, то решением является и $(5x+4y,6x+5y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 09:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Shadow
Спасибо!

nnosipov
Вопрос связан с рассмотрением одного особо тяжелого случая в соседней теме про $M(2pq) \le 3$
Поэтому пока достаточно ответа.
Если из него удастся что-то вытянуть, тогда нужно будет или мне разобраться с выводом и доказательством полноты, или ссылку на печатный источник...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 09:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ответ в виде явной формулы: $x\sqrt{3}+y\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^k$, где $k$ --- нечетное натуральное число. Эта формула дает все решения уравнения $3x^2-2y^2=1$ в натуральных числах.

Не уверен, что это сильно поможет в дальнейших исследованиях. Обычно с такими формулами сложно работать, хотя бывают и приятные исключения. Разумеется, ответ можно записать и в виде рекуррентной формулы (см. выше).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 10:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
nnosipov
спасибо!

рекуррентная формула помогла, кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 11:17 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
nnosipov
Shadow

А есть ли какие-то печатные работы, где приводится вывод и доказательство полноты для рекуррентных формул?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 14:18 


26/08/11
2057
EUgeneUSКонечно есть, только сейчас не вспоминаю. Данное решение (в натуральных числах) полное. Доказательство полноты несложное - рекурсия работает как "вверх", так и "вниз", т.е.
у нас есть последовательность решений $x_n$. Предположим, что существует решение $(x_k,y_k)$, которого нет в нашей последовательности решений, причем
$x_{n-1}<x_k<x_n$. Доказываем, что должно существовать решение $(x_{k-1},y_{k-1})$, причем $x_{n-2}<x_{k-1}<x_{n-1}$ и т.д., т.е должно существовать решение $1<x<9$
Ну а поскольку такого нет, проверили, значит и других решений нет.
Есть еще одна рекуррентная форма решений:

$x_n=10x_{n-1}-x_{n-2},\;\;y_n=10y_{n-1}-y_{n-2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах
Сообщение25.05.2022, 15:28 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Shadow
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group