Средние значения в случае квантовой ямы

[reterty]

Рассмотрим произвольную квантовую яму. Поскольку в случае классической ямы движение финитно, то можно априорно утверждать что среднее от оператора скорости для связанных состояний должно равняться нулю (частица не уходит на бесконечность). Но тогда, по теореме Эренфеста, должно равняться нулю и аналогичное среднее от оператора силы (как градиента потенциальной энергии). И если известны уже собственные функции связанных состояний, то любое из этих условий можно использовать (путем варьирования энергии) для расчета энергий связанных состояний. Верны ли мои рассуждения?

[Ruslan_Sharipov]

reterty в сообщении #1554988 писал(а):

Поскольку в случае классической ямы движение финитно, то можно априорно утверждать что среднее от оператора скорости для связанных состояний должно равняться нулю (частица не уходит на бесконечность).

Это верно, причём это можно вывести непосредственно из уравнения Шрёдингера. Для простоты рассмотрим одномерный случай:

$$\begin{xalignat*}{2}&-\frac{\hbar^2}{2\,m}\,\psi''+U\,\psi=E\,\psi.&&\qquad\eqno{(1)}\end{xalignat*}$$

Все коэффициенты в этом уравнении вещественны. Если $\psi$ — комплексное решение уравнения (1), то $\operatorname{Re}(\psi)$ и $\operatorname{Im}(\psi)$ — вещественные решения этого уравнения. Поэтому без ограничения общности можно считать, что собственные функции связанных состояний вещественны. Тогда среднее значение оператора скорости определяется формулой

$$\begin{xalignat*}{2}&\left<v\right>=-\frac{i\,\hbar}{m}\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,\psi'\,dx=-\frac{i\,\hbar}{2\,m}\int\limits^{+\infty}_{-\infty}(\psi^2)'\,dx =-\frac{i\,\hbar\,\psi^2}{2\,m}\biggl\vert^{+\infty}_{-\infty}=0.&&\qquad\eqno{(2)}\end{xalignat*}$$

reterty в сообщении #1554988 писал(а):

Но тогда, по теореме Эренфеста, должно равняться нулю и аналогичное среднее от оператора силы (как градиента потенциальной энергии).

Это тоже можно вывести непосредственным образом. Продифференцируем уравнение (1) по $x$, домножим на $\psi$, после чего проинтегрируем по $x$:

$$\begin{xalignat*}{2}&-\frac{\hbar^2}{2\,m}\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,\psi'''\,dx+\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,(U\,\psi)'\,dx=E\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,\psi'\,dx.&&\qquad\eqno{(3)}\end{xalignat*}$$

Интеграл в правой части (3) равен нулю как интеграл от полной производной: $\psi\,\psi'=(\psi^2/2)'$. Интегрированием по частям первый интеграл в левой части (3) тоже можно свести к интегралу от полной производной. Поэтому (3) сводится к равенству

$$\begin{xalignat*}{2}&\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,(U\,\psi)'\,dx=0.&&\qquad\eqno{(4)}\end{xalignat*}$$

Из (4) теперь выводим

$$\begin{xalignat*}{2}&\left<U'\right>=\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,U'\,\psi\,dx=2\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\psi\,(U\,\psi)'\,dx-\int\limits^{+\infty}_{-\infty}(\psi\,U\,\psi)'\,dx=0.&&\qquad\eqno{(5)}\end{xalignat*}$$

reterty в сообщении #1554988 писал(а):

И если известны уже собственные функции связанных состояний, то любое из этих условий можно использовать (путем варьирования энергии) для расчета энергий связанных состояний.

Я не понимаю зачем это. Ведь если собственная функция связанного состояния $\psi$ известна, то энергию этого состояния $E$ можно вычислить путём подстановки $\psi$ в уравнение (1).