Произведение конуса на отрезок

[Padawan]

Пусть $CX$ -- конус над топологически пространством $X$, т.е. фактор пространство произведения $X\times I'$, где $I'=[0,1]$, по отношению эквивалентности $(x_1,1)\sim(x_2,1)$ для всех $x_1,x_2\in X$. Обозначим через $v$ вершину конуса, $v=X\times\{1\}$. Вопрос состоит в том, верно ли что если взять факторпространство $CX\times I$ по отношению эквивалентности $(v,t_1)\sim(v,t_2)$ для всех $t_1,t_2\in I$, то естественная биекция между полученным пространством (обозначим его $Y$) и факторпространством куба $X\times I'\times I$ по отношению эквивалентности $(x_1,1,t_1)\sim (x_2,1,t_2)$ (обозначим его $Z$) является гомеоморфизмом?
В одну сторону непрерывность доказать получается. А именно, $X\times I'\times I$ непрерывно отображается на $CX\times I$ при помощи отображения $p\times 1_I$, где $p\colon X\times I'\to CX$ -- каноническая проекция. Далее берём композицию с канонической проекцией $q\colon CX\times I\to Y$. Отображение $q\circ (p\times 1_I)$ постоянно на грани куба $X\times\{1\}\times I$, поэтому оно пропускается через непрерывное отображение факторпространством куба по этой грани.
А вот непрерывность обратного отображения $Y\to Z$ доказать не получается. Может оно и не верно для произвольных пространств?

[vpb]

Возможно, поможет такой общий факт: если $\alpha\colon A\longrightarrow B$ и $\beta\colon B\longrightarrow C$ --- сюръекции множеств, $\tau$ --- топология на $A$, $\sigma$ --- индуцированная (относительно $\alpha$) топология на $B$, и $\rho$ --- индуцированная относительно $\beta$ топология на $C$, то $\rho$ совпадает с топологией, индуцированной с $A$ относительно $\beta\circ\alpha$.

Рекомендуется также подумать, а перестановочно ли в общем случае взятие фактортопологии и образование декартова произведения ? Т.е., если $X\longrightarrow Y$ --- сюръекция, то топологию на $Y\times Z$ можно получить двумя способами: либо взять фактортопологию на $Y$ и умножить ее на $Z$, либо умножить топологию на $X$ на $Z$, и потом взять фактортопологию на $Y\times Z$, относительно $X\times Z\longrightarrow Y\times Z$ --- так это одно и то же в общем случае, или нет ?

[Padawan]

vpb в сообщении #1554489 писал(а):

Рекомендуется также подумать, а перестановочно ли в общем случае взятие фактортопологии и образование декартова произведения ?

Не перестановочно. В этом, видимо, и загвоздка. Сначала пытался доказать, не получалось. Потом вспомнил, что в математической энциклопедии написано, что произведение факторного отображения на тождественное может не быть факторным (статья Факторное отображение). А это и значит, что

vpb в сообщении #1554489 писал(а):

взять фактортопологию на $Y$ и умножить ее на $Z$, либо умножить топологию на $X$ на $Z$, и потом взять фактортопологию на $Y\times Z$, относительно $X\times Z\longrightarrow Y\times Z$ --- так это одно и то же в общем случае, или нет ?

не одно и то же.

[vpb]

Padawan
Неожиданно, что с фактортопологией такой облом. Вообще, я долго не заходил, извините, если что. Да и сейчас на минутку забежал. Может, сегодня еще подумаю, но не обещаю.