2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантово уравнение
Сообщение06.05.2022, 22:53 


22/04/18
92
Решая уравнение $y^2=x(x+5)(x+10)$, мне удалось свести его к виду $5b^2=a^4-1$. Возможно, я не заметил какого-то более простого пути в изначальном уравнении, однако теперь мне хочется решить уже второе уравнение, но я не совсем понимаю как это сделать "школьными" методами. Буду благодарен за любую подсказку/ссылку/помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение07.05.2022, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
daniel starodubtsev в сообщении #1554017 писал(а):
$...\ 5b^2=a^4-1$.

$a^4-5b^2=1$ – классический Пелль, но с четвертой степенью. Если в целых. Решений лишь конечное число, в данном случае видимо так: $(a=1,b=0),(a=3,b=4).$ Подобно ряду Фибоначчи, содержащему ровно два целых квадрата $1$ и $144$. Доказать что других решений нет — дело непростое. Первоначальную задачу к рациональным не свести, сложность в этом.

Upd
Произведение членов геометрической арифметической прогрессии, равное целому квадрату — "школьными" методами такое вряд ли решается, кроме отдельных случаев. Биномиальные коэффициенты $n\choose k$, к примеру, имеют решение только в случае $k \leqslant 2$, но есть исключение для $k=3$ https://dxdy.ru/post789820.html#p789820.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение07.05.2022, 10:08 


22/04/18
92
Andrey A
Спасибо конечно, хотя хочется верить что решение все-таки есть и не слишком сложное, т.к. предыдущим пунктом этой же задачи было уравнение $y^2=x(x+1)(x+2)$, после линейной замены $y^2=t(t^2-1)$, решалось очевидным образом исходя из взаимной простоты $t$ и $t^2-1$.
Здесь же аналогичными рассуждениями числа $t$ и $t^2-25$ уже могут и не быть взаимно простыми, но только если $t$ кратно пяти. Так и пришел к тому виду, что в сообщении выше... Повторюсь - просто "верю" в решаемость задачи, так как она давалась следующим пунктом после вполне решаемой, и явно подразумевает аналогичные методы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение07.05.2022, 10:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
daniel starodubtsev в сообщении #1554025 писал(а):
просто "верю" в решаемость задачи, так как она давалась следующим пунктом после вполне решаемой
Где давалась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение07.05.2022, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
daniel starodubtsev в сообщении #1554025 писал(а):
... хочется верить что решение все-таки есть и не слишком сложное

Так решение с пятерками лежит на поверхности: $x=40$ плюс тривиальное $x=0.$ И Пелль дает два решения — разве не то самое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение07.05.2022, 12:25 


21/04/22
330
От решения уравнения $5b^2 = a^4-1$ школьными методами можно перейти к решению уравнения $1 = x^4 - 30x^2y^2 + 25y^4$. Но что делать дальше, я пока не придумал. Где-то я видел, что подобное уравнение, но с другими числами, решалось методом бесконечного спуска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение07.05.2022, 22:50 


22/04/18
92
nnosipov в сообщении #1554028 писал(а):
Где давалась?

На курсах от СПбГУ для 10 класса.

Andrey A в сообщении #1554030 писал(а):
И Пелль дает два решения — разве не то самое?

Конечно, то самое, но почему других то нет?

mathematician123 в сообщении #1554035 писал(а):
От решения уравнения $5b^2 = a^4-1$ школьными методами можно перейти к решению уравнения $1 = x^4 - 30x^2y^2 + 25y^4$

Можете, пожалуйста, намекнуть, как именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение08.05.2022, 00:26 


21/04/22
330
daniel starodubtsev
$5b^2 = (a^2-1)(a^2+1)$. $a^2+1$ и $a^2-1$ чётные и взаимнопростые. Откуда можно получить, что $a^2 = u^2+5v^2$ и $\pm 1 = u^2-5v^2$. Первое уравнение можно переписать: $(a-u) (a+u) = 5v^2$. Здесь нужно также провести анализ взаимной простоты сомножителей, но здесь будет два случая. Либо $a = x^2+5y^2$, $\pm u = x^2-5y^2$, $v = 2xy$, либо $2a = x^2+5y^2$, $\pm 2u = x^2-5y^2$, $v = xy$. Осталось только подставить полученные значения $u$ и $v$ в уравнение $\pm 1 = u^2-5v^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение08.05.2022, 11:03 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
daniel starodubtsev в сообщении #1554088 писал(а):
На курсах от СПбГУ для 10 класса.
Это немного странно, так как маловероятно, что уравнение $5b^2=a^4-1$ решается элементарными методами. Во всяком случае, можно посмотреть, как это делается в статье Ljunggren, Some remarks on the diophantine equations x^2-Dy^4=1 and x^4-Dy^2=1 (1966). Сведение таких уравнений к уравнениям Туэ 4-й степени тоже нельзя считать элементарным подходом (ведь последние тоже надо как-то решать, что школьнику вряд ли доступно). В любом случае, уравнение $y^2=x(x+1)(x+2)$ существенно легче исследуется, чем уравнение $y^2=x(x+5)(x+10)$ (как в целых, так и в рациональных числах). Скорее всего, в задании какая-то ошибка, уж по крайней мере методическая. Такого рода ошибки встречаются в задачниках по элементарной теории чисел (авторы иногда недооценивают сложность решения того или иного диофантова уравнения).

-- Вс май 08, 2022 15:04:54 --

mathematician123 в сообщении #1554091 писал(а):
чётные и взаимнопростые
Бросилось в глаза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение08.05.2022, 11:54 


21/04/22
330
mathematician123 в сообщении #1554091 писал(а):
daniel starodubtsev
$5b^2 = (a^2-1)(a^2+1)$. $a^2+1$ и $a^2-1$ чётные и взаимнопростые.


$a^2+1$ и $a^2-1$ чётные, $\frac{a^2+1}{2}$ и $\frac{a^2-1}{2} $ взаимнопростые.

mathematician123 в сообщении #1554035 писал(а):
От решения уравнения $5b^2 = a^4-1$ школьными методами можно перейти к решению уравнения $1 = x^4 - 30x^2y^2 + 25y^4$. Но что делать дальше, я пока не придумал. Где-то я видел, что подобное уравнение, но с другими числами, решалось методом бесконечного спуска.


В теме https://dxdy.ru/topic45551.html, начиная с конца второй страницы, обсуждаются такие уравнения.

-- 08.05.2022, 12:32 --

Я немного ошибся в вычислениях. Уравнение $5b^2 = a^4-1$ сводится не к одному уравнение Туэ, а к двум. Либо $1=x^4-30x^2y^2+25y^4$, либо $-4=x^4-30x^2y^2+25y^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение08.05.2022, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Попробую всё же доказать неразрешимость стартового уравнения для $x$ некратного пяти. Имеем на числовой оси три точки $A,B,C \not\equiv 0 \mod 5$ равноудаленные (последовательно) на расстоянии $5.$ Одно из чисел делится на $3$, причем ровно одно, поэтому тройка (чтобы $ABC$ оказалось квадратом) должна быть в четной степени. Точно так же любое простое $>5$ может входить в каноническое разложение множителей $ABC$ только в четной степени, единственное исключение — число $2.$ Если $B$ четное, то остальные множители нечетные, тогда и двойка должна быть в четной степени. В этом случае имеем три квадрата, но единственные квадраты на расстоянии $5$ это $3^2-2^2=5,$ которые не подходят. Последняя возможность: $B$ нечетное при четных $A,C.$ В одно из них двойка входит в $1$-й степени, значит и во второе должна входить в нечетной степени, то есть $A,C$ — удвоенные квадраты. $2X^2-2Y^2=10.$ Только так: $18-8=10.$ Но между ними лежит число $13$, которое квадратом не является. Значит $ABC$ не квадрат.
Для множителей кратных пяти, думаю, можно доказать подобными методами, что никакое простое $>5$ не может делить $A,B,C.$ А это на виду: $(0,5,10),(40,45,50).$ И хорошо согласуется с отсутствием иного решения биквадратного Пелля. Кроме того, вопросы разрешимости подобных уравнений точно уж за гранями школьной программы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение08.05.2022, 13:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Andrey A в сообщении #1554118 писал(а):
Попробуем всё же доказать неразрешимость стартового уравнения для $x$ некратного пяти.
Вот это как раз легко. Уравнение можно переписать в виде $y^2=t(t^2-25)$, где $t=x+5 \not\equiv 0 \pmod{5}$. Но тогда $\gcd{(t,t^2-25)}=1$ и тогда $t$ и $t^2-25$ суть точные квадраты (возможно, с точностью до знака). Что, как легко проверить, невозможно. (Точнее, возможно, но только при $t=-4$.)

Возможно, авторы задания забыли добавить требование $x \not\equiv 0 \pmod{5}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение08.05.2022, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
nnosipov в сообщении #1554119 писал(а):
Вот это как раз легко.
Да. Но для варианта с пятерками такой подход может пригодиться.
Если на курсах СПбГУ не боятся дать "немного лишнего", я это только приветствую. Задача-то сама по себе симпатичная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group