Определение непрерывной функции на множестве

[give_up]

Здравствуйте. Недавно я посмотрел несколько популярных учебников по матанализу, и к сожалению ни в одном из них не нашел определения функции, непрерывной на произвольном множестве (когда это множество является подмножеством области определения, а не целиком совпадает с ней). Поэтому попытался сам его составить используя понятие непрерывности в точке по множеству. Скажите, будет ли следующее определение корректным?

Числовая функция $f: X \to \mathbb{R}$ называется непрерывной на множестве $Q \subset X \subseteq \mathbb{R}$, если она непрерывна в каждой точке $x_0 \in Q$ по множеству $Q$, то есть:

$\displaystyle \forall x_0 \in Q \,\hookrightarrow\, \lim_{Q \ni x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

Другими словами, если ее сужение на множество $Q$, функция $f_Q: Q \to \mathbb{R}$, является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения:

$\displaystyle \forall x_0 \in Q \,\hookrightarrow\, \lim_{x \to x_0 } f_Q(x) = f_Q(x_0).$

[Slav-27]

Да.

[give_up]

Slav-27 в сообщении #1554015 писал(а):

Да.

Спасибо. Правда один небольшой косяк в своем определении выше я все же нашел - в нем требовать равенство $\displaystyle \lim_{Q \ni x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ нужно лишь для тех точек $x_0 \in Q$, которые являются предельными точками множества $Q$, во всех изолированных точках множества $Q$ функция $f$ сразу считается непрерывной по этому множеству (операция взятия предела по множеству в изолированной точке не определена).

Теперь у меня "разошелся аппетит" и захотелось аналогично формализовать определение дифференцируемости функции на множестве. Вышло вот что (за основу взял определение производной функции в точке из учебника Зорича по матанализу). Поправьте, если ошибусь.

Числовая функция $f: X \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой на множестве $Q \subset X \subseteq \mathbb{R}$, если все точки множества $Q$ являются его предельными точками и в каждой из них существует производная по множеству $Q$, то есть:
$\displaystyle \forall x_0 \in Q ~\hookrightarrow~ f'(x_0) = \lim_{Q \ni x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \in \mathbb{R}.$

[Slav-27]

give_up в сообщении #1555184 писал(а):

во всех изолированных точках множества $Q$ функция $f$ сразу считается непрерывной по этому множеству (операция взятия предела по множеству в изолированной точке не определена).

Да, действительно, спасибо.

give_up в сообщении #1555184 писал(а):

Теперь у меня "разошелся аппетит" и захотелось аналогично формализовать определение дифференцируемости

Не советую, непрерывность функций на странных пространствах бывает нужна, а дифференцируемость навряд ли, только в области. Лучше освойте (если ещё не) общее определение непрерывности для топологических пространств.