Производная и монотонность. Простой вопрос.

[kot-obormot]

Помогите, пожалуйста, разобраться

Нa рисункe изoбрaжен грaфик прoизводной функции $f(x)$, oпрeдeленнoй на интервале $( -6;6)$. Найдите пpомежутки вoзрастания фyнкции $f(x)$. В oтвете укaжите сумму целых тoчек, вхoдящих в эти прoмeжутки.



Понятно, что если производная положительна, то функция возрастает. Но если производная равна нулю при $x=2$, то эта точка должна входить в промежуток возрастания или нет? Или это вoпрoс дoгoвopенности?

[Евгений Машеров]

Видимо, Вы имели в виду "при $x=3$"? Но я не могу по рисунку утверждать, что производная обращается в ноль в этой точке. Вообще же такие вещи надо узнавать у выдавшего задание преподавателя, здесь с телепатией плохо обстоит...

[Otta]

Евгений Машеров
Это график производной.

[mihaild]

Евгений Машеров в сообщении #1553866 писал(а):

Но я не могу по рисунку утверждать, что производная обращается в ноль в этой точке.

На графике производная, не функция. И у неё нуль в $x = 2$ довольно явный.
kot-obormot, а есть определение промежутка? (в найденных подобных материалах промежутком называют открытый интервал, так что концы точно не включаются)

[kot-obormot]

mihaild в сообщении #1553868 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1553866 писал(а):

Но я не могу по рисунку утверждать, что производная обращается в ноль в этой точке.

На графике производная, не функция. И у неё нуль в $x = 2$ довольно явный.
kot-obormot, а есть определение промежутка? (в найденных подобных материалах промежутком называют открытый интервал, так что концы точно не включаются)

Спасибо. Это задача с сайта РЕШУ ЕГЭ. Видимо выпускники должны догадываться - что именно имел ввиду автор этого задания. Это прототип первой части профильного ЕГЭ, где требуется только ответ (а решение никто смотреть не будет).

Вот полная версия условия и предполагаемого решения.

[kot-obormot]

Насколько я понял, вопрос оказался не таким простым(

[Pphantom]

kot-obormot в сообщении #1553895 писал(а):

Насколько я понял, вопрос оказался не таким простым(

Вопрос-то простой, проблема в выяснении того, какое определение промежутка имел в виду автор задачи.

Правда, в реальном ЕГЭ такие штуки не встречаются уже лет десять. Поначалу были, потом к вычищению таких двусмысленностей стали относиться существенно серьезнее.

[Someone]

Я всегда придерживался такой терминологии:
$[a,b]$ — отрезок (оба конца включаются);
$(a,b]$ или $[a,b)$ — полуинтервал (один конец включается, другой — нет);
$(a,b)$ — интервал (ни один конец не включается).
Термин "промежуток" обозначает любой из четырёх перечисленных вариантов.
По-моему, в ЕГЭ эти термины употребляются так же. Или я чего-то не заметил?

Что касается промежутков возрастания и убывания, то здесь всё однозначно следует из определений возрастающей и убывающей функции. В этом определении производная вообще не упоминается, поэтому не нужно интересоваться, существует ли производная и равна ли она нулю.
Функция $f(x)=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, в том числе и в точке $x=0$.
Функция $g(x)=x^2$ является убывающей на промежутке $(-\infty,0]$ и возрастающей на промежутке $[0,+\infty)$. В точке $x=0$ эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей, но это не мешает включать эту точку в оба промежутка.
Ещё забавнее функция

$$h(x)=\begin{cases}100x^3\left(10+9\cos\frac 1x\right),&\text{если }x\neq 0,\\ 0,&\text{если }x=0.\end{cases}$$

Она возрастает в точке $x=0$, при этом ни на каком промежутке вида $(-\varepsilon,0]$ или $[0,\varepsilon)$, $\varepsilon>0$, она возрастающей не является.

Вложение:

Grh.gif [ 4.52 Кб | Просмотров: 1135 ]

[thething]

Someone в сообщении #1553909 писал(а):

Она возрастает в точке $x=0$

Что Вы имеете ввиду, говоря "возрастает в точке" или говоря, что не является ни возрастающей, ни убывающей в точке? Монотонность же определяется не для точек, а для множеств.

В исходной задаче забавна граница в ответе $-5,2$. Неужто это в самом деле так в ЕГЭ требуют? Как тогда понять, что это именно $-5,2$?

[Sender]

thething в сообщении #1553910 писал(а):

Монотонность же определяется не для точек, а для множеств.

Кстати, тоже всю жизнь пользовался школьным определением монотонности функции на интервале и не так давно узнал, что существует более общее определение монотонности в точке.

[Someone]

thething в сообщении #1553910 писал(а):

Что Вы имеете ввиду, говоря "возрастает в точке" или говоря, что не является ни возрастающей, ни убывающей в точке? Монотонность же определяется не для точек, а для множеств.

Мне где-то попадалось.
Функция $f(x)$, определённая в некоторой окрестности точки $x_0$, называется возрастающей в точке $x_0$, если существует такое $\delta>0$, что для всех точек $x_1\in(x_0-\delta,x_0)$ и $x_2\in(x_0,x_0+\delta)$ выполняются неравенства $f(x_1)<f(x_0)<f(x_2)$.
И т.п.

Функция возрастает на интервале $(a,b)$ тогда и только тогда, когда она возрастает в каждой точке этого интервала.

[kot-obormot]

Pphantom в сообщении #1553896 писал(а):

kot-obormot в сообщении #1553895 писал(а):

Насколько я понял, вопрос оказался не таким простым(

Вопрос-то простой, проблема в выяснении того, какое определение промежутка имел в виду автор задачи.

Правда, в реальном ЕГЭ такие штуки не встречаются уже лет десять. Поначалу были, потом к вычищению таких двусмысленностей стали относиться существенно серьезнее.

Интересно, а есть ли на форуме действующие эксперты ЕГЭ, которые смогли бы прокомментировать эту ситуацию, чтобы школьники знали - как "правильно" отвечать на такие странные двусмысленные вопросы?)

[Pphantom]

kot-obormot в сообщении #1553915 писал(а):

чтобы школьники знали - как "правильно" отвечать на такие странные двусмысленные вопросы?

Стоило бы сначала найти такой вопрос в ЕГЭ. Не на сайте "Решу ЕГЭ" и т.п., а в реальном комплекте заданий.

Качество "материалов для подготовки к ЕГЭ" зачастую бывает просто чудовищным, благо их выпуск является довольно прибыльным бизнесом, а потребители результатов по понятным причинам не могут относиться к ним критически. Но, как говорится, на каждый чих не наздравствуешься, обсуждать, что делать с "ляпами" в таких материалах, малоосмысленно (и с точки зрения изучения предмета, и с точки зрения подготовки к ЕГЭ).

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

А можно тоже задам вопрос в тему обсуждения? А то я матан знаю плохо, а эта тема - повод освежить забытые знания.

Есть теорема: если производная $f'$ функции $f(x)$ положительна в каждой точке промежутка $X \subset \mathbb R$, то $f$ строго возрастает на $X$. Правильно ли я понимаю, что под $X$ понимается любой промежуток - хоть конечный, хоть бесконечный (т.е. любой из $[a,b], [a, b), (a, b], (a,b), (a, +\infty), (-\infty, b),[a, +\infty), (-\infty, b] (-\infty, +\infty)$)? Ну и соответствующие теоремы о убывании/неубывании/невозрастании тоже вроде бы справедливы для любого промежутка.

И кстати по логике для промежутков вида $[a,b],[a, b), (a, b],[a, +\infty), (-\infty, b]$ достаточно вроде бы дифференцируемости во внутренних точках. А для концевых точек (тех из них, которые с квадратными скобками) нужна только непрерывность с соответствующей стороны.

[Someone]

(EminentVictorians)

EminentVictorians в сообщении #1553926 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что под $X$ понимается любой промежуток

Да.

EminentVictorians в сообщении #1553926 писал(а):

для промежутков вида $[a,b],[a, b), (a, b],[a, +\infty), (-\infty, b]$ достаточно вроде бы дифференцируемости во внутренних точках. А для концевых точек (тех из них, которые с квадратными скобками) нужна только непрерывность с соответствующей стороны.

Да.