Какие операторы сохраняют замкнутость множества?

[artempalkin]

Пусть у нас есть ограниченное замкнутое множество. Мне грешным делом казалось, что достаточно линейности оператора, чтобы эту замкнутость сохранять, но что-то не совсем видно, как это доказать. Подскажите, в ряду Линейный - Ограниченный - Компактный операторы, какие будут отображать замкнутое множество в замкнутое множество? А замкнутое ограниченное в замкнутое ограниченное?

[thething]

artempalkin в сообщении #1552662 писал(а):

Мне грешным делом казалось, что достаточно линейности оператора, чтобы эту замкнутость сохранять, но что-то не совсем видно, как это доказать.

Это, вообще говоря, неверно (причём даже для компактного оператора). Можно лишь утверждать, что, если пространство $X$ рефлексивно, то образ замкнутого шара под действием ограниченного оператора $A:X\to Y$ будет замкнут.

[artempalkin]

thething
Вообще задача возникла из размышлений на тему того, что компактный оператор достигает на единичной сфере своей нормы (по крайней мере в гильбертовом пространстве; доказательство, которое я знаю, существенно использует факты, доказывающиеся с помощью скалярного произведения).

Я пытался доказать этот факт, доказав, что компактный оператор отображает единичную сферу в замкнутое множество, а дальше норма как непрерывная функция на компакте достигнет своей верхней грани. Но не преуспел в доказательстве замкнутости образа...

thething в сообщении #1552666 писал(а):

Можно лишь утверждать, что, если пространство $X$ рефлексивно, то образ замкнутого шара под действием ограниченного оператора $A:X\to Y$ будет замкнут.

Если принимать во внимание этот факт (правда, я не знаю, как он доказывается), то получается, что в банаховом рефлексивном пространстве компактный линейный оператор будет достигать на единичной сфере своей нормы.

[thething]

artempalkin в сообщении #1552667 писал(а):

получается, что в банаховом рефлексивном пространстве компактный линейный оператор будет достигать на единичной сфере своей нормы.

При условии, что $Y$ -- банахово (хотя это зависит от того, как определяется компактный оператор, но пусть будет, как универсальное условие).

artempalkin в сообщении #1552667 писал(а):

правда, я не знаю, как он доказывается

Для доказательства надо использовать теорему о том, что из ограниченной последовательности в рефлексивном пространстве выделяется слабо сходящаяся подпоследовательность. А также то, что замкнутое выпуклое множество слабо замкнуто.

artempalkin в сообщении #1552667 писал(а):

Но не преуспел в доказательстве замкнутости образа...

И не преуспеете. Можете поколдовать над оператором неопределённого интегрирования в пространстве непрерывных функций в поисках контрпримера.

[artempalkin]

thething в сообщении #1552670 писал(а):

И не преуспеете. Можете поколдовать над оператором неопределённого интегрирования в пространстве непрерывных функций в поисках контрпримера.

Насколько я понимаю, ситуация будет следующая: этот оператор отобразит единичный шар на подмножество единичного шара. Однако все функции, в которые он отобразит вектора из $C$, будут дифференцируемыми. Получается, у нас будет дырявый шар: любые функции, не дифференцируемые хотя бы в одной точке, в него не попадут. Любая непрерывная функция может быть приближена не только всюду дифференцируемыми, но и многочленами, по равномерной норме. А значит отображение замкнутого единичного шара оператором неопределенного интегрирования не будет замкнутым.

Единственная проблема: будет ли такой оператор компактным? Я даже не совсем понимаю, как это проверять для отдельных операторов, тем более когда нет скалярного произведения, чтобы как-то относительно легко работать с функционалами (используя полную непрерывность)

-- 18.04.2022, 19:26 --

Есть критерий предкомпактности в $C$, но что-то непохоже, чтобы отображение единичного шара исследуемым оператором было предкомпактом. Образ единичного шара будет равномерно ограничен, но вроде бы не равностепенно непрерывен. При желании дифференцируемую всюду функцию можно заставить как угодно быстро расти на любом отрезке, а потом, например, так же быстро уменьшаться (например, $f(x)=\sin nx$ для больших $n$).

[artempalkin]

Впрочем, я не прав. Отображение единичного шара будет предкомпактом. Равномерная ограниченность:

$$|Ax(t)|=\left|\int\limits_0^tx(\tau)d\tau\right|\leqslant 1$$

Равностепенная непрерывность:

$$|Ax(t_1)-Ax(t_2)|=\left|\int\limits_{t_1}^{t_2}x(\tau)d\tau\right|\leqslant |x(\xi)|\cdot|t_2-t_1|\leqslant |t_2-t_1|$$

Но здесь я не совсем уверен: если линейный оператор отображает единичный шар на предкомпакт, то будет ли он компактным? Ведь это же не "любое ограниченное множество"

[Nemiroff]

artempalkin в сообщении #1552992 писал(а):

Но здесь я не совсем уверен: если линейный оператор отображает единичный шар на предкомпакт, то будет ли он компактным? Ведь это же не "любое ограниченное множество"

Будет конечно. Все шарики "одинаковые", а всё, что не шарик -- оно лежит внутри шарика.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1553016 писал(а):

Будет конечно. Все шарики "одинаковые", а всё, что не шарик -- оно лежит внутри шарика.

Да, согласен. Такой оператор отображает любое множество, которое является подмножеством какого-то шара, в подмножество предкомпакта. А любое подмножество предкомпакта является предкомпактом.

Итог такой: никакие операторы заведомо не обладают свойством сохранения замкнутости множества