Проверка выполнимости аксиом метрики

[Hulk541]

Здравствуйте. Есть метрика

$$d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\setminus(\overline{0},\overline{0})\to\mathbb{R}$$ $$d\left(x,y\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{|x_{i}-y_{i}|}{|x_{i}|+|y_{i}|}$$

Нужно проверить выполнимость аксиом метрики для этой метрики.

Удалось проверить выполнимость всех аксиом метрики для данной, кроме неравенства треугольника:
$d\left(x,y\right) \leqslant d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)$
Прошу помочь доказать справедливость неравенства.
P.s. если бы была не дробь, если бы не выражение в знаменателе, то доказательство было бы тривиальным, но оно вон как

[DeBill]

Hulk541
Ясно, что достаточно проверить все в одномерном случае.
Здесь: легко, если есть числа разных знаков. Если же все - одного знака, то посмотрите, в каком они порядке расположены на оси. Тут, наверное, будет полезна монотонность функции $f(t)= \frac{a+t}{b+t}$. Ну, и известный факт: когда дети складывают дроби по правилу "числитель - с числителем, знаменатель - со знаменателем", они всегда получают меньше чем надо...Да?

[Hulk541]

DeBill, извините за долгое отсутствие.
Не понимаю как тут может помочь монотонность гиперболы.
Попытался приведением подобных доказать неравенство для следующего расположения тройки (x,y,z) на числовой прямой:
$0<x<y<z$
Не получилось. После раскрытия модулей получаются положительные правильные дроби. А что дальше делать, не пойму.

[svv]

Hulk541 в сообщении #1553463 писал(а):

$0<x<y<z$

В этом случае надо доказать, что
$\frac{y-x}{y+x}<\frac{z-x}{z+x}+\frac{z-y}{z+y}$
Справедливо даже более сильное неравенство
$\frac{y-x}{y+x}<\frac{z-x}{z+x},$
то есть
$\dfrac{\frac yx-1}{\frac yx+1}<\dfrac{\frac zx-1}{\frac zx+1}$
Придумайте сами нужную функцию, исследуйте её на монотонность и докажите неравенство.