Задачи по молекулярной физике.

[ARMICRON]

1я задача из Овчинкина:
8.14

Цитата:

Сферический сосуд радиуса R, наполненный идеальным газом, расположен в области однородного поля тяжести с ускорением свободного падения g. При какой температуре газа T наиболее вероятное положение молекулы газа будет находиться вблизи горизонтальной плоскости на расстоянии R/2 от центра сферы? Масса молекулы m.

Подскажите с чего начать?

PS Пока только записал распределение Больцмана и вывел радиус поперечного сечения сферы в зависимости от высоты r=\sqrt{R^2-(z-R)^2}
Что с этим делать не знаю.

Ответ: T=3/4*mgR/k

Добавлено спустя 2 часа 12 минут 56 секунд:

2) Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния r до центра поля как U(r)=ar^2, где a - положительная постоянная. Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля n_0. Найти:
а) число молекул с потенциальной энергией (U,U+dU)
б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии.
А вот эту как делать?

[ARMICRON]

2ю задачу решил, надо сначала найти распределение молекул по r.
$dN=n_{0}\exp({\frac{-ar^2}{kT}})4\pi r^2 dr$
Потом сделать замену переменной. Навероятнейшее значение потенциальное энергии находится из уравнения$\frac{d}{dU} f(V)}=0$, где f(V) - функция распределения.
PS почему \frac{d}{dU} не работает?

[Someone]

ARMICRON писал(а):

...\frac{d}{dU} f(V)}=0, где f(V) - функция распределения.
PS почему \frac{d}{dU} не работает?

Потому что формулы надо окружать знаками доллара.

$\frac{d}{dU}f(V)=0$

$\frac{d}{dU}f(V)=0$

$$\frac{d}{dU}f(V)=0$$

$$\frac{d}{dU}f(V)=0$$

[ARMICRON]

Кто-нибудь знает как распределение Больцмана записать для сферы, находящейся в однородном поле тяжести?

[Sergiy_psm]

ARMICRON писал(а):

Кто-нибудь знает как распределение Больцмана записать для сферы, находящейся в однородном поле тяжести?

Запишите в таком ввиде

$$dW=C\exp(-\frac{mgz}{kT})dxdydz$$

.

$$dW$$

- вероятность нахождения частицы в элементе объема

$$dxdydz$$

. Из условия нормировки вероятности найдете

$$C$$

. Дальше думайте.

[ARMICRON]

Sergiy_psm писал(а):

ARMICRON писал(а):

Кто-нибудь знает как распределение Больцмана записать для сферы, находящейся в однородном поле тяжести?

Запишите в таком ввиде

$$dW=C\exp(-\frac{mgz}{kT})dxdydz$$

.

$$dW$$

- вероятность нахождения частицы в элементе объема

$$dxdydz$$

. Из условия нормировки вероятности найдете

$$C$$

. Дальше думайте.

В общем решил я. dW находил, используя аналитическую геометрию и математический анализ.
Потом быстренько проверил это дело в maxima. Результат совпал с ответом
\begin{verbatim} (%i2) y:exp(-m*g*z/(k*T))*(R^2-(z-R)^2); \end{verbatim} $$\left( {R}^{2}-{\left( z-R\right) }^{2}\right) \,{e}^{-\frac{g\,m\,z}{k\,T}}\leqno{\tt (\%o2) }$$ \begin{verbatim} (%i3) u:diff(y,z); \end{verbatim} $$-\frac{g\,m\,\left( {R}^{2}-{\left( z-R\right) }^{2}\right) \,{e}^{-\frac{g\,m\,z}{k\,T}}}{k\,T}-2\,\left( z-R\right) \,{e}^{-\frac{g\,m\,z}{k\,T}}\leqno{\tt (\%o3) }$$ \begin{verbatim} (%i4) z:R/2; \end{verbatim} $$\frac{R}{2}\leqno{\tt (\%o4) }$$ \begin{verbatim} (%i5) solve([u=0],[T]); \end{verbatim} $$[T=\frac{3\,g\,m\,R}{4\,k}]\leqno{\tt (\%o5) }$$

[Хет Зиф]

ARMICRON
причем тут сфера? Если поле тяжести - однородное то распределение просто пропорционально $e^{-\frac{mgz}{kT}}$.
А сфера определяет форму. Если Вы учитесь на физтехе посмотрите методичку Кириченко, так разобрана помоему задача с конусом в котором газ.

[ARMICRON]

Хет Зиф писал(а):

ARMICRON
причем тут сфера? Если поле тяжести - однородное то распределение просто пропорционально $e^{-\frac{mgz}{kT}}$.
А сфера определяет форму. Если Вы учитесь на физтехе посмотрите методичку Кириченко, так разобрана помоему задача с конусом в котором газ.

Контрпример: сфера с газом(вне сферы газа нет) высотой h в поле тяготения, функция распределения $e^{-\frac{mgz}{kT}}$, получаем что на высоте h+c (с>0), плотность газа не равна 0, хотя очевидно что газа там нет. Следовательно функция распределения не верна для данного случая.

[Хет Зиф]

Спасаю ситуацию $e^{-\frac{mgz}{kT}}\theta (h-x)$