Условие Липшица для функции класса C1

[Padawan]

Пусть $D\subset\mathbb R^n$ -- ограниченная область. Функция $f\in C^1 (\overline D)$, то есть $f$ и её частные производные первого порядка продолжаются до непрерывных функций на замкнутую область $\overline{D}$. Верно ли, что $f$ удовлетворяет условию Липшица в $\overline D$, то есть существует $C>0$ такое, что $|f(x')-f(x'')|\leqslant C|x'-x''|$ для всех $x',x''\in\overline D$ ?
Для областей с достаточно хорошей границей (например, выпуклых) верно. Есть вроде какая-то теорема Уитни (https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_extension_theorem) о продолжении функции класса $C^k$ с замкнутого множества на все $\mathbb R^n$ до гладкой функции. Я видел её формулировку, но не могу понять, следует ли из неё, что мою $f\in C^1(\overline D)$ можно продолжить на все пространство. Если можно, то ясно, что утверждение верно. Но в любом случае хотелось бы более элементарного доказательства.

[demolishka]

Padawan в сообщении #1551833 писал(а):

следует ли из неё, что мою $f\in C^1(\overline D)$ можно продолжить на все пространство

Мне тут видится вот какая беда. Там требуется кандидат на производную (у нас это конечно матрица Якоби $A(x)$ в точках $x \in \overline{D}$) и то, что остаток $R(h;x)$ в

$$f(x+h)-f(x)=A(x)h + R(h;x) h$$

должен равномерно по $x$ стремиться к нулю при $h \to 0$. Вот эта равномерность (очень часто полезная, но про нее почему-то всегда умалчивают) как обычно получается? Да из какого-нибудь вида остатка в интегральной форме. Но чтобы написать интеграл — опять выпуклость нужна. Внутри-то она есть, но мы в нее (в ее отсутствие) упираемся при подходе к граничному $x$.

[mihaild]

Частные производные - это производные по направлениям?
Если так, то вроде совсем нет - возьмем область, такую что на границе её замыкания есть точка, такая что любая прямая, проходящая через эту точку, в малой окрестности не имеет других пересечений с областью - тогда ограничения на частные производные значение в этой точке никак не затрагивают. И покидаем в область холмики линейно убывающей высоты на квадратично убывающем расстоянии от этой точки.
UPD: бред написал.

[mihaild]

Вроде так можно.
$D = (0, 1) \times (-1, 0) \cup \bigcup_n (3^{-n}, 2\cdot 3^{-n}) \times [0, 1)$ - квадрат под $Ox$ и узкие быстро приближающиеся к $Oy$ полоски. Пусть $g$ - гладкая функция, в нуле значение и все производные нулевые, $g(1) = 1$.
Определим

$$f(x, y) = \begin{cases} 0,\ y \leq 0\\ \frac{g(y)}{n},\ x \in (3^{-n}, 2\cdot 3^{-n}) \end{cases}$$

Хотя наверное хотелось бы чтобы $f(x + \delta x, y) - f(x, y) = \lim\limits_{(u, v) \to (x, y)} \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{u, v} \cdot \delta x + o(\delta x)$ (ну и аналогично по $y$)...

[Padawan]

Да, это контрпример. Спасибо.