Рассматривается осесимметричная задача линейной теории упругости. Выберем сплошной усеченный круговой конус так, чтобы начало цилиндрической системы координат находилось в вершине полного конуса, полученной "продолжением" (достраиванием) данного усеченного конуса. Ось

направим вдоль оси конуса. При этом полярная ось

описывает все упругие свойства в поперечных сечениях конуса. Считаем, что усеченный конус ограничен двумя плоскостями

и

. Угол раствора конуса обозначим как

. Будем также считать заданными все упругие характеристики материала конуса (

). Соответствующая задача для случая полного конуса при нагружении его сосредоточенной силой

, приложенной в вершине конуса вдоль его оси, решена давным давно Митчеллом. Митчелл использует функцию напряжения

, являющуюся фундаментальным осесимметричным решением бигармонического уравнения. Переходя от функции напряжения к компоненте тензора напряжений

, будем иметь:

Константа

определяется из основного условия постоянства продольной силы

в любом поперечном сечении конуса:

Отметим, что в данном случае вычисленный интеграл в (1) не зависит от

и константа

легко вычисляется. Рассмотрим теперь случай усеченного конуса. Для простоты распределим силу равномерно по сечению

с поверхностной нагрузкой

. Тогда, кроме условия (1) должно еще выполняться граничное условие

. Легко видеть, что решение Митчелла для

не удовлетворяет этому условию при произвольном

. Для его выполнения произведем замену в

:

и добавим к нему осесимметричное однородное решение

. Тогда

. Чтобы найти

вновь обратимся к условию (1). Однако, теперь после вычисления интеграла, его левая часть является функцией от

и невозможно подобрать

таким образом, чтобы при произвольном

выполнялось условие (1). Приплыли.... Может кто-то из математиков/физиков подскажет выход из этого тупика....