Осевое нагружение упругого усеченного конуса

[reterty]

Рассматривается осесимметричная задача линейной теории упругости. Выберем сплошной усеченный круговой конус так, чтобы начало цилиндрической системы координат находилось в вершине полного конуса, полученной "продолжением" (достраиванием) данного усеченного конуса. Ось $z$ направим вдоль оси конуса. При этом полярная ось $r$ описывает все упругие свойства в поперечных сечениях конуса. Считаем, что усеченный конус ограничен двумя плоскостями $z=a>0$ и $z=b>a>0$. Угол раствора конуса обозначим как $2\alpha$. Будем также считать заданными все упругие характеристики материала конуса ($E, \nu$). Соответствующая задача для случая полного конуса при нагружении его сосредоточенной силой $F$, приложенной в вершине конуса вдоль его оси, решена давным давно Митчеллом. Митчелл использует функцию напряжения $\psi=A\ln(\sqrt{r^2+z^2}+z)$, являющуюся фундаментальным осесимметричным решением бигармонического уравнения. Переходя от функции напряжения к компоненте тензора напряжений $\sigma_{zz}$ , будем иметь: $\sigma_{zz}=\frac{Az}{(r^2+z^2)^{3/2}}$ Константа $A$ определяется из основного условия постоянства продольной силы $F$ в любом поперечном сечении конуса:

$$2\pi \int_{0}^{z{\tg}\alpha} r \sigma_{zz}\,dr=F(1)$$

Отметим, что в данном случае вычисленный интеграл в (1) не зависит от $z$ и константа $A$ легко вычисляется. Рассмотрим теперь случай усеченного конуса. Для простоты распределим силу равномерно по сечению $z=a$ с поверхностной нагрузкой $q$. Тогда, кроме условия (1) должно еще выполняться граничное условие $\sigma_{zz}(r, a) =q$. Легко видеть, что решение Митчелла для $\sigma_{zz}$ не удовлетворяет этому условию при произвольном $r$. Для его выполнения произведем замену в $\sigma_{zz}$: $z\to z-a$ и добавим к нему осесимметричное однородное решение $\sigma_{zz}=B$. Тогда $B=q$. Чтобы найти $A$ вновь обратимся к условию (1). Однако, теперь после вычисления интеграла, его левая часть является функцией от $z$ и невозможно подобрать $A$ таким образом, чтобы при произвольном $z$ выполнялось условие (1). Приплыли.... Может кто-то из математиков/физиков подскажет выход из этого тупика....