Нелинейный Диффур (2)

[MestnyBomzh]

Задача Найти все решения ДУ

$$(2y-3x)^2 y'=(6y-9x)(y+\frac{1}{3x})$$

, удовлетворяющие начальному условию $y(-2)=-3$

Решение Сначала я преобразую правую часть в

$$(2y-3x)^2 y'=(2y-3x)(3y+\frac{1}{x})$$

Дальше я оговариваюсь, что одно из решений это $y=\frac{3}{2}x$, которое у тому же удовлетворяет начальному условию. Дальше я говорю, что раз мы рассмотрели этот случай, то поделим на $2y-3x$, получим

$$(2y-3x)y'=3y+\frac{1}{x}$$

Дальше я беру начальное условие $y(-2)=-3$ и подставляю его, получаем

$$0 \cdot y' = -9-\frac{1}{2} $$

, тут нет решений
Таким образом, я делаю вывод о том, что это единственное решение. Но теперь вопрос в том, что в решении на ютубе автор нашел еще дополнительные решения. Я не понимаю как это бьётся с этим условием $0 \cdot y' = -9-\frac{1}{2} $ , какую бы функцию он не нашел это условие никогда не будет выполнено

Видео на Ютубе: https://www.youtube.com/watch?v=ytRW1NKUB10&list=WL&index=4

[Red_Herring]

MestnyBomzh в сообщении #1551813 писал(а):

Таким образом, я делаю вывод о том, что это единственное решение

Это неверный вывод. Решение может где-то совпадать с $\frac{3x}{2}$, а где-то нет.

[artempalkin]

Решение все же должно удовлетворять начальному уравнению, а не полученному, строго говоря, неэквивалентными (функционально) преобразованиями. Деля на $2y-3x$ вы не только отбрасываете решение $y=\frac 32 x$, но и теряете информацию о том, как должны вести себя все возможные решения в тех точках, где $y=\frac 32 x$ (ведь в таком случае вы по сути делите на $0$).
Поэтому остается только найти решение в любом случае, проверить точку, подставить в исходное ДУ и молиться, чтобы оно подошло.

[MestnyBomzh]

окей, я понял, просто еще одно решение совпадает в точке $x=-2$ с решением $y=\frac{3}{2}x$, а я просто поделил на 0 получается