Теорвер. Оценка отклонения

[upjump]

Доброго времени суток! Читаю Курс теории вероятности, Гнеденко, 2 глава 11 задача:

Доказать, что при $npq\geqslant25$

$P_n(m) = \frac{1}{\sqrt{2npq}}\exp(\frac{-z^2}{2})(1+\frac{(q-p)(z^3 - 3z)}{6\sqrt{npq}}) + \Delta$

где

$z = \frac{m-np}{\sqrt{npq}}$, $\left\lvert\Delta\right\rvert < \frac{0.15 + 0.25|p-q|}{\sqrt{(npq)^3}}|z|\exp(-\frac{3}{2}\sqrt{npq})$

Патался доказать посредством формулы Стирлинга для факториала, с последующим разложением в ряд Тейлора и оценкой остаточного члена. Но получаются уж больно громоздкие вычисления, и все больше склоняюсь что зашел в тупик. Есть подозрение, что это какая-то распространённая теорема, но я никак не могу ее отыскать. Быть может кто-то из форумчан знает и даст наводку на нее?

[Someone]

upjump в сообщении #1551618 писал(а):

Но получаются уж больно громоздкие вычисления

Похожая теорема есть в учебнике Боровкова (глава 5, § 2, теорема 5), но там доказательство тоже весьма громоздкое.

А. А. Боровков. Теория вероятностей. Москва, "Наука", 1986.

[Евгений Машеров]

А там $\pi$ не пропущено?
Вообще же это напоминает аппроксимацию через разложение Эджворта. Учитывающую асимметрию.

[Евгений Машеров]

У Боровкова доказательство через Стирлинга и методичное расписывание. В книге Гнеденко явная опечатка, в коэффициенте пропало пи между двойкой и npq (возможно, дефект печати - там явный пробел виден). Поправочный член смахивает на разложение Эджворта. Во всяком случае и асимметрия биномиального распределения $\frac {p-q} \sqrt{npq}$ есть, и многочлен Эрмита $H_3(x)=x^3-x$ наличествует, и 3! в знаменателе. А вот откуда оценка погрешности - не вем. Ряд Эджворта асимптотический, погрешность не превышает последнего отброшенного члена, но на следующий член ряда Эджворта не похоже. Гнеденко ссылается на статью С.Н.Бернштейна "Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа" (Изв. АН СССР, 1943), её можно найти в 4 томе собрания сочинений Бернштейна, но там получена другая оценка.
http://libgen.is/book/index.php?md5=4D6 ... F0D7254759

[upjump]

Цитата:

В книге Гнеденко явная опечатка, в коэффициенте пропало пи между двойкой и npq

да, я так же полагаю, что там опечатка

Я так же нашел очень похожую формулу в доказательстве Успенского Я.В., Introduction to mathematical propability 1937, глава 7, пункт 11. Но там используется интегральная формула вместо локальной.

Спасибо за наводку! Разберусь пока с той информацией, что вы мне дали.

[Евгений Машеров]

В общем, предложи мне эту задачу, я бы быстро обрадовался тому, что поправочный множитель это слагаемое в ряде Эджворта, учитывающее асимметрию распределения из-за того, что $p\ne q$, затем решил бы, что оценивать дельту надо, исходя из того, что ряд асимптотический, ошибка не более первого отброшенного члена, выписал бы его. И завис бы. Как-то оно непохоже на выражение через эксцесс, равный $\frac {1-6pq} {npq}$. Так что, скорее всего, оценивать ошибку надо как-то иначе. А может, и так можно, это у меня не получается...
Поискал в справочнике Джонсона, Кемпа, Котца - не нашёл такой оценки...

[upjump]

Все таки надо смотреть Introduction to mathematical propability 1937, глава 7, Успенский. Вся глава посвящена оценки для интегральной формулы. После главы присутствует задача номер 7, которая является точной копией задачи Гнеденко, за исключением опечаток. Странно, что эти опечатки так и не были исправлены в русском, английском и немецком издании Гнеденко. Правильное условие выглядет так:

Доказать, что при $npq\geqslant25$

$$P_n(m) = \frac{1}{\sqrt{2\pinpq}}\exp(\frac{-z^2}{2})(1+\frac{(q-p)(z^3 - 3z)}{6\sqrt{npq}}) + \Delta$$

где
$z = \frac{m-np}{\sqrt{npq}}$, $\left\lvert\Delta\right\rvert < \frac{0.15 + 0.25|p-q|}{\sqrt{(npq)^3}}+\exp(-\frac{3}{2}\sqrt{npq})$

Доказательство предлагается провести по аналогичному методу, что представлен в главе.

[upjump]

Ну вот и я опечатался. Исправляюсь:

Доказать, что при $npq\geqslant25$

$$P_n(m) = \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp(\frac{-z^2}{2})(1+\frac{(q-p)(z^3 - 3z)}{6\sqrt{npq}}) + \Delta$$

где
$z = \frac{m-np}{\sqrt{npq}}$, $\left\lvert\Delta\right\rvert < \frac{0.15 + 0.25|p-q|}{\sqrt{(npq)^3}}+\exp(-\frac{3}{2}\sqrt{npq})$

[Евгений Машеров]

Да, похоже, оттуда и взято.

[novichok2018]

Можно попросить ссылку, где взять Успенского, 1937.

[Otta]

novichok2018 в сообщении #1552334 писал(а):

Можно попросить ссылку, где взять Успенского, 1937.

Хоть где. https://yandex.ru/search/?text=%D0%A3%D ... =363&lr=56

[novichok2018]

За платную ссылку спасибо. И вам того же.
Прошу помощи, чтобы скачать книгу Успенского.

[Otta]

novichok2018
Не у всех результаты поисковых запросов выводятся в одном и том же порядке.
У меня вся первая страница состояла из бесплатных ссылок.
И я, как обычно, переоценила аудиторию.

https://archive.org/details/in.ernet.dl ... 1/mode/2up
У меня это было в топе выдачи поисковика.
Я совсем потеряю веру в собственную состоятельность в качестве помогая, если и за это прилетит по морде, потому что оно не скачивается, например.

И хоть Вы и достигли своего, вопрос у меня остался: а как Вы думаете, другие как находят тексты? Вот то есть что они в данный момент должны были (для Вас) сделать?
Есть несколько этапов, банальный гуглеж этап первый, дальше уже по ситуации. Но Вы же, очевидно, не воспользовались первым этапом. Почему Вы перепоручаете это кому-то?

И Вам не болеть.

[Евгений Машеров]

В порядке раздачи удочек. Я обычно начинаю с libgen. Разумеется, тут могут быть трудности - иногда сайт блокируется, и надо искать дубли. Иногда сам сайт доступен, а блокированы сервера, надо через VPN таскать. Но обычно можно. Во всяком случае, на либгене данная книга Успенского есть.
Есть и на twirpx, хотя он не вполне бесплатный (бесплатный в пределах стартового количества баллов, далее либо самому выкладывать, получая баллы за скачивание, либо смотреть запросы
https://www.twirpx.org/requests/
сканировать запрошенные книги, выкладывать, получая премию от запросившего и, возможно, за скачивание, ну, или их, баллы, оплачивать).
mirknig.su - там подборка, пожалуй, беднее, и поиск не очень. Но бесплатно.
Ну и множество иных мест.

[novichok2018]

Otta - я понял, что у вас не было желание подчеркнуть платную ссылку, так что извините. Действительно , у всех открываются по разному. Вроде неплохо умею искать, как обычный пользователь. На LG нет. Приведённая ссылка на некоторый архив-книга открывается для чтения, скачать не могу. Остальные ссылки тоже-вроде есть, а скачать нельзя, я не смог пока.
Есть действительно ссылка на twirpx - но у меня опять вроде нет к нему доступа, буду разбираться. Поэтому и попросил помощи, сам попробовав, а не сразу с протянутой рукой.
И конечно продолжайте помогать всем, кому можете, только так. Даже если не говорят спасибо и ворчат.
P.S. Нашёл, скачал. Спасибо всем за помощь.