лемма о лишней единице

[bot]

Пусть $p$ и $q$ - взаимно простые нечётные числа. Тогда

$$\ds\sum\limits_{k=0}^{pq-1} (-1)^{[\frac{k}{p}]+[\frac{k}{q}]}=1\,. $$

Собственно задачка не новая. Меня интересует вопрос, почему у меня такое ощущение, что она похожа на закон взаимности? Различных доказательств ЗВ вроде что-то около сотни, вот только сейчас отыскать хотя бы с десяток стоит большого труда, Куда ни сунься, везде денежку хотят.

[bot]

bot в сообщении #1551541 писал(а):

Меня интересует вопрос, почему у меня такое ощущение, что она похожа на закон взаимности?

Снимаю дурацкий вопрос. Произведение символов Лежандра записывается в виде минус один в степени сумма, а не наоборот:

$$\left(\frac qp\right)\left(\frac pq\right)= (-1)^{\sum\limits_{i=1}^{p'}\left[\frac{iq}{p}\right]+\sum\limits_{j=1}^{q'}\left[\frac{jp}{q}\right] }$$

Общее - только разбиение отрезка двумя семействами точек.

[nnosipov]

bot в сообщении #1551541 писал(а):

Собственно задачка не новая.

Кстати, а каков первоисточник задачи?

-- Сб апр 02, 2022 11:00:49 --

bot в сообщении #1551565 писал(а):

Снимаю дурацкий вопрос.

Ну почему же дурацкий? У меня такие же ассоциации возникли. И все потому, что в процессе вычисления возникают выражения $[iq/p]$ и $[jp/q]$.