Умножение двух случайных величин

[MestnyBomzh]

Задача:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы. $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$, $\eta$ принимает значения −1 и 1 с вероятностями 0.1 и 0.9 соответственно. Вычислить: $P(\xi \cdot \eta \in [-0.5; 0.5])$
Решение:
Поскольку значение $\eta$ не играет никакой роли, то по сути эта вероятность эквивалентна $P(\xi < 0.5) = 0.5$

Вопрос: задача какая-то слишком очевидная и решается в одну строку. Я заподозрил, что так не может быть, да и зачем вообще тут тогда дается $\eta$?

P.S Задача взята из вступительного в магистратуру МГУ, источник http://master.cmc.msu.ru/files/master_var_2020.pdf

[ozheredov]

MestnyBomzh в сообщении #1551460 писал(а):

значение $\eta$ не играет никакой роли

$\eta$ инвертирует (или не инвертирует) знак кси. И поскольку инверсия и ее отсутствие встречаются с разной вероятностью, то ....

[alisa-lebovski]

ozheredov в сообщении #1551462 писал(а):

И поскольку инверсия и ее отсутствие встречаются с разной вероятностью, то ....

То это не важно, потому что спрашивается вероятность попадания в отрезок, симметричный относительно нуля.

[MestnyBomzh]

alisa-lebovski в сообщении #1551464 писал(а):

То это не важно, потому что спрашивается вероятность попадания в отрезок, симметричный относительно нуля.

да, у меня именно такая логика рассуждений

-- 31.03.2022, 01:08 --

Для профилактики: если будем рассматривать не симметричный отрезок, скажем, $[-0.1;0.5]$, тогда

$ $P(\xi \cdot \eta \in [-0.1; 0.5])$ = 0.1\cdot P\left(0< \xi <1\right)+0.9\cdot P\left(0<\xi<0.5\right) = 0.1 \cdot 0.1 + 0.9 \cdot 0.5 = 0.46$

[Евгений Машеров]

Ну, бывают же задачи "на соображалку". Для устного рассуждения. Может, и тут? Интересно было бы сравнить с прочими вариантами.

[MestnyBomzh]

Евгений Машеров в сообщении #1551500 писал(а):

Интересно было бы сравнить с прочими вариантами.

Есть интересно, на сайте у них выложен еще вариант 2019 года http://master.cmc.msu.ru/files/master_var_2019.pdf
Там, кстати, задача на ТерВер сложнее

[Евгений Машеров]

Тут теорвер посложнее, "на бумажке", но ненамного. Зато оптимизационная "в уме". Может быть, специально одна задача, которую точно решит? Чтобы можно было двойки не ставить?

[ihq.pl]

Меня бы тоже реально смутила эта задачка. На первый взгляд всё просто, а когда пытаешься сделать всё формально в терминах аксиоматики Колмогорова, где случайные величины есть измеримые функции, становится ясно, что еще многое неясно)

[Otta]

ihq.pl в сообщении #1551539 писал(а):

а когда пытаешься сделать всё формально в терминах аксиоматики Колмогорова, где случайные величины есть измеримые функции, становится ясно, что еще многое неясно)

А что неясно? Наверное, я чего-то не вижу.

[ihq.pl]

Otta в сообщении #1551578 писал(а):

А что неясно?

Уже прояснилось) Стало ясно, что "не играет никакой роли" лишь распределение величины $\eta$. Но её значения играют существенную роль.