Можно ли выразить сложение через умножение?

[PaulPP]

Умножение легко выражается через сложение, например: $2 \cdot 3=2+2+2$,
а наоборот? Можно ли выразить сложение через умножение?
например $2+3$ в виде умножения чисел?

[Dan B-Yallay]

PaulPP в сообщении #1551076 писал(а):

2∗3=2+2+2

$= 3+3$

PaulPP в сообщении #1551076 писал(а):

например 2+3= в виде умножения чисел?

$2+3 = 2 \cdot 2.5 = 3 \cdot 1.666666(6)$

[Gagarin1968]

PaulPP в сообщении #1551076 писал(а):

Можно ли выразить сложение через умножение?

Аналогично: $\underbrace{2+2+2+2+2+2}_{6~\text{слагаемых}}=2\times 6$

[пианист]

Возможно, PaulPP имеет в виду тропическое умножение?

[Pphantom]

Пожалуйста, не надо забывать нормально оформлять формулы.

Название темы изменено на более содержательное.

[Someone]

PaulPP в сообщении #1551076 писал(а):

Умножение легко выражается через сложение, например: $2 \cdot 3=2+2+2$

Вы уверены? Я, в лучшем случае, вижу выражение умножения на $3$: $m\cdot 3=m+m+m$. А как выразить $m\cdot n$? А если Вы имеете в виду конструкцию типа

$$m\cdot n=\underbrace{m+m+\ldots+m}_{n\text{ слагаемых}},$$

то это просто другое обозначение умножения, которое в формальной теории должно быть определено до его использования. Ну а на неформальном уровне умножение примерно так и объясняют.

[Евгений Машеров]

Если не вводить дополнительных сущностей, а ставить задачу так - есть $f(x,y)=xy$ и надо выразить $x+y через какую-то последовательность вызовов $f(x,y)$, и, возможно, некоторых констант, то нельзя. Контрпример: надо найти $x+(-1)$. Во всех вызовах данной функции будет возвращаться либо число. по абсолютной величине превосходящее один из множителей или равное ему, либо ноль. Вернуть число, на единицу меньшее, нельзя. Другой пример - сумма должна быть неким простым числом, отличным от слагаемых, скажем $2+3=5$, но наша функция возвращает либо один из аргументов, если второй единица, либо составное число.
Если можно использовать произвольные функции (хотя бы от одного аргумента), то тривиальный ответ: "Да!"
$x+y=\ln (e^x\cdot e^y)=\ln f(\exp(x),\exp(y))$

[siago]

Умножение это частный случай сложения. Поэтому через умножение можно выразить только те случаи сложения, в которых слагаемые имеют одинаковое значение.

[Aritaborian]

siago в сообщении #1551302 писал(а):

Умножение это частный случай сложения.

Ну тогда сложение это обобщение умножения, верно? Видимо, не в том порядке их дети в школе изучают.

[Евгений Машеров]

Ещё один вариант "выразиться" - через умножение, деление и прибавление единицы
$x+y=y(\frac x y +1)$
Выглядя чрезвычайно искусственно, тем не менее это практически важный и в своё время интенсивно используемый приём. Время его - время расчётов на логарифмических линейках, где умножение и деление делаются одним движением, а сложение нереализовано. А вот прибавить единицу, переместя движок на следующее деление, можно и в уме.

[Gagarin1968]

Евгений Машеров
+500
Много-много лет тому назад наш институтский преподаватель по АВМ поспорил с нами, по-моему, тогда третьекурсниками, на червонец (советский червонец!), что сможет сложить на логарифмической линейке любые два числа. Мы же были умненькие ребята и отлично понимали, что логарифмическая шкала не приспособлена для подобной операции.
Но он проделывал именно такой трюк.
Пришлось нам скидываться по рублю.

[Евгений Машеров]

В своё время "преобразование к виду, удобному для логарифмирования" было весьма востребовано. Суммы синусов превращали в произведения и т.п. Не только в связи с линейкой, конечно, и таблицы логарифмов того же требовали.
"Мушкет убил благородное искусство лучника"

[Emergency]

PaulPP в сообщении #1551076 писал(а):

Умножение легко выражается через сложение, например: $2 \cdot 3=2+2+2$,

Когда-то были аналоговые вычислительные машины. Они легко суммировали напряжения и токи и выполняли интегрирование. А вот умножение давалось с трудом. Для операции умножения применялись блоки квадраторов, которые реализовали кусочно-линейную функцию возведения в квадрат. Имея такие блоки можно было выполнить операцию $(x+y)^2 - x^2 -y^2$ и получить с приемлемой точностью удвоенное произведение двух напряжений.

[Евгений Машеров]

Обычно всё же $\frac 1 4 ((x+y)^2-(x-y)^2)$
Дополнительный операционник был дешевле квадратора, а коэффициент это вообще копеечное сопротивление в цепи обратной связи...
Логарифмические преобразователи тоже использовались, но реже.

[Emergency]

Евгений Машеров в сообщении #1551336 писал(а):

Обычно всё же $\frac 1 4 ((x+y)^2-(x-y)^2)$

Да, конечно. Уже многое успел подзабыть. Но суть осталась - операция умножения не так проста, как считает ТС.