Вейвлет-преобразование (разложение) функции

[Alm99]

Уважаемые форумчане, коллеги! Добрый вечер! Прошу помощи и советов в весьма сложной для понимания теме... Долго не мог определиться в каком из разделов форума писать данный пост, но все же думаю, что это больше математическая проблема...

Имеется следующая функция (рассматривается разложение функции в КМА Хаара):

$f(x) = \begin{cases} 1,&\text{$-2 \leqslant x < 1$;}\\ -1,&\text{ $-1 \leqslant x < 0$;}\\ 2,&\text{$0 \leqslant x < 1/2$;}\\ -2,&\text{ $1/2 \leqslant x < 1$;}\\ 0,&\text{ $ x \in\mathbb{R} \setminus [-2;1)$.} \end{cases}$

Суть проблемы заключается в следующем: необходимо разложить данную функцию по базису всплесков Хаара и по базису масштабирующих функций.
$$
В качестве базиса всплесков я беру вейвлет Хаара из пространства $V_{0}$:

$\varphi_{0}(x) = \begin{cases} 1,&\text{$ 0 < x < 0.5$;}\\ -1,&\text{ $0.5 < x < 1$;}\\ 0,&\text{$x \in (-\infty;0) (1 +\infty)$.}\end{cases}$

В качестве базиса масштабирующих функций я беру скейлинг-функции из пространства $V_{0}$:

$\psi_{0}(x) = \begin{cases} 1,&\text{$ 0 < x < 1$;}\\ 0,&\text{$x \in (-\infty;0) (1 +\infty)$.}\end{cases}$

Проблема моя заключается в следующем: в общем случае, разложение по всплескам и по масштабирующим функциям по отдельности может быть записано в виде сумм:

$f(x) = \sum\limits_{k}^{} C_{m,k}\varphi_{m,k}$

$f(x) = \sum\limits_{m,k}^{} D_{m,k}\psi_{m,k}$

При этом коэффициенты рассчитываются следующим образом:

$C_{m,k} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x) \varphi_{0}(2^m x-k) \, dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x) 2^{m/2}\varphi_{0}(2^m x-k) \, dx $

$D_{m,k} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x) \psi_{0}(2^m x-k) \, dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x) 2^{m/2}\psi_{0}(2^m x-k) \, dx$

У меня есть программа, для расчета коэффициентов разложения по двум базисам, но я вот чего не могу понять несколько моментов:

1) Вот я получил две матрицы, исходя из книги Вейвлеты в MATLAB. Смоленцев Н.К и К. Чуи - Введение в вейвлеты, я не могу понять, как записать линейные комбинации (т.е. ряды, которые как бы аппроксимируют исходную функцию), иначе говоря какие коэффициенты брать из данных матриц для двух разложений, полученных путем расчета интегралов, чтобы записать компбинацию (ряд), который аппроксимирует исходную функцию при разложении.

Предположим, что я хочу разложить исходную функцию по базису вейвлетов из пространства $V_{0}$ и беру стандратный вейвлет Хаара $$. Тогда, если я правильно понимаю, я должен аналитически рассчитать интеграл вида:

$C_{0,k} = \int\limits_{-2}^{1} 1(x) 2^{0}\varphi_{0}(x) \, dx ?$

Или я иду не совсем верным путем? Если верно, тогда вопрос - а как интегрировать функцию с таким носителем? И получается, что каждом отрезке функции я должен рассчитать такой интеграл, а потом записать линейную комбинацию?

2) Тогда вытекает следующи вопрос: а каким образом мне записать в python данную комбинацию ряд в каждом случае, чтобы вывести на печать, и проверить условие, что аппроксимация выполнена достаточно хорошо:

$ sup = \left\lVert f(x) - \sum\limits_{k}^{} C_{m,k}\varphi_{m,k} \right\rVert \leqslant 0.1$

$ sup = \left\lVert f(x) -\sum\limits_{m,k}^{} D_{m,k}\psi_{m,k} \right\rVert \leqslant 0.1$

3) У меня также есть вопрос вот какого характера. Я разложил предположим $f(x)$, тогда как ответить на вопрос к какому пространству КМА Хаара $V_{k}$ принадлежит $f(x)$?

Может возможно мне показать на одном примере, понятном, а не обобщенном (как в литературе), как например вычислить данные коэффициенты аналитически, и записать итоговое разложение?

Я не совсем понимаю суть вейвлет -разложения, а поэтому не могу понять и как записать его, что как аналитически обосновать, в этом случае, что данное разложение имеет место с достаточной точностью (т.е. выполняется условие аппроксимации).

В ЦОС достаточно часто используют данные разложения, но там есть куча встроенных функций в том же MATLAB, и просто получают сигнал и его разложение и коэффициенты, а вот как их использовать, т.е. аналитически запсиать разложение и ответить на вопрос о принадлжености функции к тому или иному пространству КМА Хаара $V_{k}$?

Вейвлеты по сути, есть обобщение Фурье преобразования, базис только составляют не тригонометрические функции и все сигналы считается, принадлежат прострнаству функций $L_{2}$.

Очень сильно я "плаваю", и не могу никак осознать, в чем суть и как записать разложения, какие получается коэффициенты вычислять и рассматривать?

Буду очень признателен за помощь, вопрос достаточно сложный для меня, и очень долго думал, в какой ветке оставить пост. Прикладываю также код на Python 3.10 https://disk.yandex.ru/d/IdoEEWlKJ9JWKw

Пользовался в качестве литература также ресурсом

[Alm99]

Вот положим, что я взял данный стандартный вейвлет Хаара - в этом случае, получается, чтобы разложить исходную функцию, то получается следующее:

$f(x)_{approx} = C_{1,k} \varphi_{-1}(x/2-1)+C_{1,k} \varphi_{1}(2x) ?$

Тогда как вычисляются коэффициенты $C_{1,k}$ и тогда как вычислить разность между исходной функцией и ее приближением? Или я ошибся и разложение неправильное, а если я выбираю вейвлет из одного пространства, то надо его просто сдвигать и смотреть, вейвлеты из какого пространства наилучшим образом приближают исходную функцию?

А если брать базис масштабирущих функций, они же получаются не могут принимать отрицательные значения, просто сдвигать, или это тоже не совсем верное суждение?

[Alm99]

Alm99 в сообщении #1550690 писал(а):

.
Имеется следующая функция (рассматривается разложение функции в КМА Хаара):

$f(x) = \begin{cases} 1,&\text{$-2 \leqslant x < 1$;}\\ -1,&\text{ $-1 \leqslant x < 0$;}\\ 2,&\text{$0 \leqslant x < 1/2$;}\\ -2,&\text{ $1/2 \leqslant x < 1$;}\\ 0,&\text{ $ x \in\mathbb{R} \setminus [-2;1)$.} \end{cases}$

В этом фрагменте опечатка и должно быть так:

$f(x) = \begin{cases} 1,&\text{$-2 \leqslant x < -1$;}\\ -1,&\text{ $-1 \leqslant x < 0$;}\\ 2,&\text{$0 \leqslant x < 1/2$;}\\ -2,&\text{ $1/2 \leqslant x < 1$;}\\ 0,&\text{ $ x \in\mathbb{R} \setminus [-2;1)$.} \end{cases}$

[ihq.pl]

Alm99, мне кажется, в первую очередь надо разобраться с ролями, которые играют вейвлет и масштабирующая ф-я. Скажем, если через $V_{k+1}$ обозначить пр-во ф-й, преобразование Фурье которых сосредоточено на отрезке $[-2^{k+1}, 2^{k+1}]$, то имеет место представление $V_{k+1}=V_k\oplus W_k$, где $W_k$ можно назвать высокочастотной составляющей пр-ва $V_{k+1}$. Соответственно, $V_k$ - его низкочастотная составляющая. И в $V_k$ и в $W_k$ можно ввести базис, и тогда любую ф-ю из $V_{k+1}$ можно разложить по этим базисам. Базисом пр-ва $W_k$ является набор ф-ий $\psi_{m,k}(x)=\psi(2^{k}x - m)$, где $\psi$ есть тот или иной вейвлет. Соответственно, набор ф-ий $\varphi_{m,k}$, где $\varphi$- масштабирующая ф-я, есть базис пр-ва $V_k$. Про-во $V_{N+1}$ можно представить как

$$V_{N+1}=V_0\oplus W_0\oplus W_2\oplus...\oplus W_{N}$$

Фишка в том, что коэффициенты разложения исследуемой ф-ии в базисе $W_{k}$ должны рекуррентно получаться из коэффициентов разложения в базисе $W_{k+1}$. В общем, где-то так.. В любом случае, если разобраться с реккурентными соотношениями для вейвлет-коэффициентов, станет ясно, как работать с ними численно

[Alm99]

ihq.pl
Да, согласен, но может постановка вопроса моя не совсем правильная. Вот у меня задана функция $f(x)$, кусчоная функция. И мне надо разложить (т.е. аппроксимировать данную функцию) сначала по базисным функциям вейвлеты Хаара, затем разложить по базису, который состоит из масштабирующий функций, а уже потом, непосредствено по базису пространства $V_{k} \oplus W_{k}$. Это значит, что я могу аппроксимировать функцию тремя различными способами:

$f(x) = \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x)$

$f(x) = \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} D_{m,k}\psi_{m,k}(x)$

$f(x) = \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x) + \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} D_{m,k}\psi_{m,k}(x)$

При этом считается, что аппроксимация удовлетворительна, если:

$\lVert f(x) - \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x)\rVert < 0.1$

$\|f(x) - \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} D_{m,k}\psi_{m,k}(x)\| < 0.1$

А коэффициенты рассчитываются следущим образом в общем виде:

$C_{m,k}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\varphi_{m,k}(x)dx $

$D_{m,k}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\psi_{m,k}(x)dx$

В данном случае проблема состоит в том, что я не совсем понимаю как правильно рассчитать такие интегралы аналитически (например, возьмем расчет коэффциента на отрезке):

$\int\limits_a^b f(x) \varphi_{m,k}(x)dx, \qquad x \in [-2,-1)$

Также я не могу понять еще один момент: вот для данной функции как выбрать базис, чтобы точно соблюдалось условие аппроксимации. И как в итоге записать линейную комбинацию в итоге.
И еще есть вопрос относительно того момента, что я могу исходную функцию раскладывать таким образом, что выбирать базисные функции из рахных пространств, к примеру для левой части функции (что до нуля), взять растянутый вейвлет из пространства $W_{-1} = \psi(x/2 - 2)$, а в правой части уже брать вейвлет Хаара из пространства $W_{1} = \psi(2x)$?
Мне кажется, что не могу. Аналогично, что если я буду функцию аппроксимировать только по базису масштабирующих функций, тогда тоже я с хорошей точностью аппроксимировать данную функцию не смогу. Если бы я мог визуально строить картинку и понимать, какое разложение наилучшим образом подходит (т.е. выбирать сразу уже подходящую функцию), мне было бы проще. Так, есть например код, чтобы визуализировать разложение по базисным функциям (совместно и масштабирующим и вейвлетам Хаара), я пытаюсь реализовать его и таким образом, чтобы можно было получать разложение и по отдельным базисам, однако, я не могу понять, как мне реализовать возможность рассматривать и рассчитывать вейвлеты и масштабирующие функции.

Т.е. попрбовать визуально уже смотреть базисы какого пространства показывают наилучший результат, тогда возможно, было бы легче уже понять как записать линейную комбинацию (ряд итоговый).

Используется синтаксис Python

from __future__ import division
from mpmath import quadgl, plot
from mpmath.libmp.backend import xrange


phi = lambda x: (0 <= x < 1)  # scaling fct
psi = lambda x: (0 <= x < 0.5) - (0.5 <= x < 1)  # wavelet fct
phi_j_k = lambda x, j, k: 2 ** (j / 2) * phi(2 ** j * x - k)
psi_j_k = lambda x, j, k: 2 ** (j / 2) * psi(2 ** j * x - k)


def haar(f, interval, level):
    c0 = quadgl(lambda t: f(t) * phi_j_k(t, 0, 0), interval)

    coef = []
    for j in xrange(0, level):
        for k in xrange(0, 2 ** j):
            djk = quadgl(lambda t: f(t) * phi_j_k(t, j, k), interval)
            coef.append((j, k, djk))

    coef1 = []
    for j in xrange(0, level):
        for k in xrange(0, 2 ** j):
            djk = quadgl(lambda t: f(t) * psi_j_k(t, j, k), interval)
            coef1.append((j, k, djk))

    return c0, coef1


def haarval(haar_coef, x):
    c0, coef1 = haar_coef
    s = c0 * phi_j_k(x, 0, 0)
    # s = 0
    for j, k, djk in coef1:
        s += djk * psi_j_k(x, j, k)
    return s


# --------- to plot an Haar wave
# interval = [-2, 1]
# plot([lambda x : psi_j_k(x,0,0)],interval)
# plot([lambda x : phi_j_k(x,0,0)],interval)

# ---------- main
nb_coeff = 1
interval = [-2, 1]  # haar only handle [0,1] for the moment: scaling and wavelet fcts need to be periodice


# fct = lambda x : x**2

def fct(x):
    if -2 <= x < -1:
        y = 1.0
    elif -1 <= x < 0:
        y = -1.0
    elif 0 <= x < 0.5:
        y = 2.0
    elif 0.5 <= x < 1:
        y = -2
    else:
        y = 0
    return y


haar_coef = haar(fct, interval, nb_coeff)
haar_series_apx = lambda x: haarval(haar_coef, x)

print('error:')
print('haar', quadgl(lambda x: abs(fct(x) - haar_series_apx(x)), interval))
print('coeff:')
print(haar_coef)

plot([fct, haar_series_apx], [-2.2, 1.5])
 

-- 20.03.2022, 12:39 --

А и еще такой вопрос, все же брать при расчетах $2^{i}$ или $2^{i/2}$?

[ihq.pl]

что за ерунда -- не могу делать вставки из текста ТС...

Ладно. Строго говоря, неправильно называть проекцию ф-ии на пр-во $W_k$ аппроксимацией. Это не аппроксимация. Во-вторых, представление

$$f(x)=\sum_{m,k} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x)$$

тоже неверное. Масштабирующая ф-я не генерирует базис в $\mathbb{L}_2$. Для масштабирующей ф-и верным является предельное представление $P_k f \rightarrow f, k\rightarrow \infty$, где $P_k f$ есть ортогональная проекция $f$ на пр-во $V_k$... Думаю, вам нужно с этим разобраться. Вейвлет и масштабирующая ф-я всегда в паре. Причем, у каждого вейвлета своя пара. Скажем, для вейвлета Хаара парой является ф-я "индикатор" и никакая другая.

[Alm99]

ihq.pl
Я согласен, что масштабирующая функция и сам вейвлет идут совместно и разложение должно быть записано в виде:

$f(x) = \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x) + \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} D_{m,k}\psi_{m,k}(x)$

.

Просто цель задания такова: дана функция $f(x)$, которая представлена была выше, и ее надо разложить сначала по базису вейвлетов Хаара, затем по базису масштабирующих функций КМА Хаара (при этом я не понимаю соверешенно формулировку вопроса указать, к какому пространству $V_{k}$ принадлежит функция $f(x)$, а затем уже записать разложение по базисным функциям пространства $V_{k} \oplus W_{k}$..

В итоге ни программа не позволяет провести разложение данной функции должным образом, при том что ее писал как раз на основе книги Вейвлеты в MATLAB. Смоленцев Н.К, так я и не понимаю, как вообще такую фунцкицю можно разложить только по одному базису (к примеру если использовать базис только масштабирующих функций я в принципе не смогу добиться соблюдения условия)

$f(x) = \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x) $

$\|f(x) - \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x)\| < 0.1$

Я попробовал также посмотреть файл вот по этой ссылке http://www.m-hikari.com/ams/ams-2012/ams-125-128-2012/sunmonuAMS125-128-2012.pdf (там пишут про аппроксимацию как раз функции вейвлетами), но там используется снова же разложение по вейвлетам, и не учитывается масштабирующая функция в принципе.

Или сама формулировка задания совсем не верна, или это я просто круглый , и не понимаю тогда, что подразумевается!
Вот более подробная формулировка задачи:
https://drive.google.com/file/d/13D1BoXMjl7FI5eTRVI7ljmZfDU9AS16t/view?usp=sharing

[ihq.pl]

Alm99 в сообщении #1550771 писал(а):

Я согласен, что масштабирующая функция и сам вейвлет идут совместно и разложение должно быть записано в виде:
$f(x) = \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} C_{m,k}\varphi_{m,k}(x) + \displaystyle\sum_{m,k}^{\infty} D_{m,k}\psi_{m,k}(x)$

нет, это неверно, увы .. Неужели это из какой-то книжки?

[Alm99]

ihq.pl
Это из [url]https://ru.bmstu.wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%
B9_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%88%D1%82%D0%B0%D0%B1
%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7[/url]

Но и преподаватель говрит, что так общее разложение и записывается. А разложение по отдельным базисным функциям записывается как правая и левая часть отдельно, из этой общей суммы. В книге Чуи также было записано... И задание черт его побери есть, три недели делать казалось бы вроде... Ну не теория операторов и не нелинейный функциональный анализ. А при этом, мало что понятно, и Смоленце тоже не особо пишет. Так то на практике - да (есть сигнал), есть всттроенная функция в MATLAB, Python - пожалуйста, а вот рассмотреть на примере аналитически как разложить такую функцию -- сто раз нет... Еще больше теперь непонятно, что раз и это неправильно, что данная запись неверна, не понимаю тогда чему верить и выполнимо ли такое задание...

-- 20.03.2022, 14:08 --

ihq.pl
Так это и из статьи, тоже, которая по сслыке (где код в Maple), там и используется слово аппроксимация, правда вместо функции дифференциальное уравнение.

[ihq.pl]

Alm99 в сообщении #1550777 писал(а):

Это из [url]https://ru.bmstu.wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%
B9_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%88%D1%82%D0%B0%D0%B1
%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7[/url]

Если вы имеете ввиду формулу (3.1), то она совсем не то, что вы написали

[Alm99]

ihq.pl
Я про 2.18. Просто преподаватель сказал, что верно... Не понимаю тогда смысл задания и как записывать разложение в принципе

[ihq.pl]

Alm99 в сообщении #1550780 писал(а):

Я про 1.9.

она тоже не то. Формула (1.9) является реконструкцией сигнала на четвёртом уровне, т.е. его аппроксимации или проекции на $V_4$. Кстати, думаю, там слева должно быть $s_r(4,x)$. Возможно, опечатка. Впрочем, я мог чего-то и не увидеть. В любом случае, очевидно, что вам стоит внимательно разобраться с тем, что там написано.

-- 20.03.2022, 15:48 --

Alm99 в сообщении #1550780 писал(а):

Я про 2.18.

тоже не то. Oбратите внимание на то, что в первом члене суммирование по одному индексу, а во втором - по двум.

-- 20.03.2022, 16:09 --

ihq.pl в сообщении #1550763 писал(а):

Базисом пр-ва $W_k$ является набор ф-ий $\psi_{m,k}(x)=\psi(2^{k}x - m)$, где $\psi$ есть тот или иной вейвлет. Соответственно, набор ф-ий $\varphi_{m,k}$, где $\varphi$- масштабирующая ф-я, есть базис пр-ва $V_k$.

Здесь надо уточнить. Базисом в $W_k$ является набор ф-ий $\{\psi_{m,k}, m\in \mathbb{Z}\}$, а в $V_k$ - набор $\{\varphi_{m,k}, m\in\mathbb{Z}\}$.

[Alm99]

ihq.pl в сообщении #1550781 писал(а):

Alm99 в сообщении #1550780 писал(а):

Я про 1.9.

она тоже не то. Формула (1.9) является реконструкцией сигнала на четвёртом уровне, т.е. его аппроксимации или проекции на $V_4$. Кстати, думаю, там слева должно быть $s_r(4,x)$. Возможно, опечатка. Впрочем, я мог чего-то и не увидеть. В любом случае, очевидно, что вам стоит внимательно разобраться с тем, что там написано.

Это значит, что рассматривается пространство КМА Хаара, где масштабирующая функция получется следующего вида:

$\psi_{4}(x) = \left\{\begin{array}{cc} 4 & 0<x<1/16 \\ 0 & \mathit{otherwise} \end{array}\right. $

Сам вейвлет Хаара в этом случае:

$\varphi_{4}(x) = \left\{\begin{array}{cc} 4 & 0<x<\frac{1}{32} \\ -4 & \frac{1}{32}<x< \frac{1}{16} \\ 0 & \mathit{otherwise} \end{array}\right. $

Т.е. получается, что для любой функции $f(x) \in L_{2} [a,b)$ данное выражение для декомпозиции

$ f(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} a_{i}\varphi_{i}(x) \qquad x \in [a,b)$

где

$a_{i} = \langle f(x)\varphi_{i}(x) \rangle = 2^{i/2}\int_{a}^{b}f(x)\varphi_{i}(x)dx $

и $a_{i}$ - коэффициенты вейвлета Хаара является абсолютно неверным.

Тогда вопрос по заданию: казалось бы даже не многомерный сигнал, а функция на отрезке, как же тогда ее раскладывать? Понятно, что брать пространство, с индексом больше двух скорее всего не имеет смысла? И раскладывать надо таким образом, что записывать разложение в полной форме, иначе говоря будут и $C_{m,k}$ и $D_{m,k}$?

[ihq.pl]

Alm99 в сообщении #1550782 писал(а):

Т.е. получается, что для любой функции $f(x) \in L_{2} [a,b)$ данное выражение для декомпозиции
$ f(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} a_{i}\varphi_{i}(x) \qquad x \in [a,b)$

где
$a_{i} = \langle f(x)\varphi_{i}(x) \rangle = 2^{i/2}\int_{a}^{b}f(x)\varphi_{i}(x)dx $

и $a_{i}$ - коэффициенты вейвлета Хаара является абсолютно неверным.

Это больше похоже на правду. Но я бы поменял $\varphi$ на $\chi$; индекс $i$ заменил бы на $n=2^k+m, k\ge 0, m=1,...,2^k$, и переписал формулу (для $a=0,b=1$) в виде

$$f(x)=(f, \varphi_0)\varphi_0(x) + \sum_{k=0}^\infty\sum_{m=1}^{2^k}a_{k,m}\chi_{k,m}(x),$$

где $\varphi_{0}(x) \equiv 1$, и

$$\chi_{k,m}(x)=\begin{cases} 2^{k/2}, x\in [m-1, m-0.5)/2^k \\ -2^{k/2}, x\in [m-0.5, m})/2^k \end{cases}$$

-- 20.03.2022, 20:02 --

Теперь можете попробовать убедиться в том, что ф-я $\varphi_1(x)$, для которой

$$(f,\varphi_1)\varphi_1(x) = (f,\varphi_0)\varphi_0(x) + (f,\chi_{0,1})\chi_{0,1}(x)$$

совпадает на интервалах $[0,0.5), [0.5,1)$ с функциями $\varphi_{1,0}(x)$ и $\varphi_{1,1}(x)$, которые получаются из $\varphi_0(x)$ с помощью стандартной трансформации, определенной для масштабирующих ф-ий. По идее должно получиться И если это действительно так, то формулу полной декомпозиции можно будет переписать в виде

$$f(x) = \sum_{m=0}^1(f,\varphi_{1,m})\varphi_{1,m}(x) + \sum_{k=1}^\infty\sum_{m=1}^{2^k}a_{k,m}\chi_{k,m}(x)$$

[Alm99]

ihq.pl
Так, ну теперь остается записать два разложения, как по базису вейвлетов, так и по базису масштабирующих функций. У меня вот тогда попутно возникли еще вопросы.

Положим, что имеется масштабирующая функция КМА:

$\varphi(x) = \displaystyle \sum_{l}^{} h_{l}\varphi_{1,l}(x)$

Тогда каким образом по данной функции масштабирующей можно отыскать сам вейвлет данного КМА и найти величину $\sum_{l}^{} |h_{l}|^{2}$?

Не знаю конечно, как рассчитывать интегралы и получится соблюсти условия, что разность между исходной функцией аппроксимацией меньше 0.1, но буду пытаться!