Упрощение иррациональных выражений

[Basil77]

Упрощение иррациональных выражений, содержащих полный квадрат под знаком радикала.
Упростить выражение $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}-\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$
Решение : сделаем замену $t=\sqrt{2x-4}$
Тогда $x=\frac{t^2+4}2$
и выражение приобретает вид $\frac{\lvert{t+2}\rvert}2-\frac{\lvert{t-2}\rvert}2$
Разбиваем все множество допустимых значений $t$ на три области
$\in{(-\infty;-2]}$
$\in{(-2;2)}$
$\in{(2;+\infty)}$
$\frac{t-2+t-2}2=-2$ для $t\in{(-\infty;-2]}$
$\frac{t+2+t-2}2=t$ для $\in{(-2;2)}$
$\frac{t+2-t+2}2=2$ для $\in{(2;+\infty)}$
возвращаясь к исходной переменной $x$. необходимо решить неравенства
$\sqrt{2x-4}\le-2$ решение $\varnothing$
$-2<\sqrt{2x-4}\le2$ решение $2\le$x$\le4$
$\sqrt{2x-4}>2$ решение $x>4$
Ответ: при $x\in{[2;4]}$ данное выражение равно $\sqrt{2x-4}$
при $x\in{(4;+\infty)}$ данное выражение равно $2$
Вопрос : при выборе $x$ из интервала $x\in{(4;+\infty)}$, например 100, не получается 2. Где ошибка?

[ShMaxG]

Basil77 в сообщении #1550347 писал(а):

и выражение приобретает вид $\frac{\lvert{t+2}\rvert}2-\frac{\lvert{t-2}\rvert}2$

Нет.

[novichok2018]

Формула сложного радикала?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1550370 писал(а):

Формула сложного радикала?

Разумеется, но этой формулой нужно аккуратно пользоваться, ведь ответ получается составным (в том смысле, что нет единого упрощающего выражения).

[dmd]

Пусть $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}-\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}=y$

Тогда $(-8 + 4 x - y^2)(-8 + y^2)=0$

и $y=\begin{cases} 2\sqrt{x-2}\quad|\quad x\in{[2;4]\\ 2\sqrt{2}\quad|\quad x\in{(4;+\infty) \end{cases}$

[novichok2018]

возводили в квадрат, лишнего не приобрели? Проверка затруднительна, мне кажется. Может кажется.

[waxtep]

Basil77 в сообщении #1550347 писал(а):

выражение приобретает вид $\frac{\lvert{t+2}\rvert}2-\frac{\lvert{t-2}\rvert}2$

Потеряли кое-что в знаменателях, проверьте внимательнее

Basil77 в сообщении #1550347 писал(а):

Разбиваем все множество допустимых значений $t$ на три области

Можно избежать лишней работы, заметив, что $t\geqslant0$

[Basil77]

Спасибо за подсказку. В знаменателе при переходе к $t$ ошибка 2 вместо $\sqrt2$
В результате ${\frac{t+2+t-2}\sqrt2}=$ $\frac{t\sqrt2}2$для $\in{(-2;2)}$
${\frac{t+2-t+2}\sqrt2}=$ $2\sqrt2 для $\in{(4;+\infty)}$

[novichok2018]

Ещё стандартный способ - обозначить два больших корня в исходном соотношении буквами.

[TOTAL]

Basil77 в сообщении #1550347 писал(а):

Упростить выражение $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}-\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$
Решение : сделаем замену $t=\sqrt{2x-4}$

Решение: не сделаем замену $|\sqrt{x-2} + \sqrt{2} | - |\sqrt{x-2} - \sqrt{2} | = 2 \min\{\sqrt{x-2}, \sqrt{2}\}$