Проблема оптимального управления

[Brain burner]

Уважаемые математики помогите технарю если можете!
Необходимо решить задачу максимального быстродействия для системы:

$$ \frac {dx_1} {dt} = x_2 $$

$$ \frac {dx_2} {dt} = \phi(t)*(b(x_2)*u+f(x_2)) $$

$$u\leqslant 1, \quad b(x_2)>0, \quad b(x_2)>|f(x_2)|, \quad \phi(t)>0$$

Начальные условия:

$$x_1(0)=x0_1, \quad x_2(0)=x0_2$$

Цель управления:

$$x_1(T)=0, \quad x_2(T)=0, \quad T\to min$$

Доказано, что оптимальное управление имеет вид

$$u = sign(\psi(t))$$

, проблема заключается в доказательстве того, что функция

$$\psi(t)$$

один раз пересекает ось абсцисс на интервале

$$t\in[0,T]$$

. Если разобраться это очевидно, но вот доказать математически непросто, а очень хочется.

[Brain burner]

Может быть кому-нибудь покажется легче, если второе уравнение в системе будет:

$$ \frac {dx_2} {dt} = \phi(x_1)*(b(x_2)*u+f(x_2)) $$

?