Порядки и ранги подгрупп

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1559593 писал(а):

Для этого и более простой пример есть: $\mathbb Z_6 \times S_3$.

Наткнулся тут ещё на один пример, меньшего размера (не уверен на счёт простоты):

$$G_{27}=\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathbb{Z}_3=\left\langle\;a,\;b,\;d\;|\;a^3=b^3=d^3=[a,\;b]=[a,\;d]=e,\;db=abd\;\right\rangle$$

Эта группа имеет ранг 2, а все её элементы 3-го порядка. Образующая a порождает центр группы

$$\operatorname{Z}\left(G_{27}\right)=\mathbb{Z}_3=\left\{\;e,\;a,\;a^2\;\right\}$$

который любым другим элементов группы расширяется до одной из четырёх подгрупп $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3$. Чтобы получить всю группу надо взять любые два элемента, не лежащие в центре и в одной подгруппе $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3$.

После этого внимательно просмотрел все группы 8-го, 16-го и 24-го порядков, но ничего подходящего не обнаружил. Видать, эта $G_{27}$ является минимальной с рассматриваемым свойством.

А ещё

$$\mathbb{Z}_6\times\mathrm{S}_3=\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_{14}\times\mathbb{Z}_2\right)$$