Определить тип кривой второго порядка

[Alexander__]

Здравствуйте. Помогите разобраться, пожалуйста.

-----

Условие задачи:

Определить тип кривой второго порядка: $x^2-x y +y^2+x+y=0$.

-----

Тип кривой прямо следует из знака определителя:

$$\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -\frac1{2} \\ -\frac1{2} & 1 \end{vmatrix} = \frac{3}{4} > 0$$

Поэтому тип кривой эллиптический.

Найдём центр кривой, решив систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} {\partial F(x,y) \over \partial x} = 0 \\ {\partial F(x,y) \over \partial y} = 0 \\ \end{array} \right. $$

Решение: $(-1,-1)$. Далее сделаем подстановку:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x=x'-1 \\ y=y'-1 \\ \end{array} \right. $$

Откуда получим уравнение кривой в новых координатах: $x^2-xy+y^2-1=0$.

Т.к. коэффициенты $A$ и $C$ при $x^2$ и $y^2$ равны, то угол поворота кривой для приведения к каноническому виду равен $\varphi=\frac{\pi}{4}$. Тогда новые координаты с поворотом:

$$ \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x' \\y' \end{bmatrix} = \frac1{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x' \\y' \end{bmatrix} $$

Подставив новые координаты, получим уравнение:

$$ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{\frac{2}{3}} = 1 $$

В итоге, получили эллипс.

-----

Верный ли подход? Есть ли ещё способы решения задачи?