Оптимальная стратегия бросания кубика

[melnikoff]

У нас есть правильный 6-гранный кубик. Наша цель – при броске получить максимальное кол-во очков. Разрешается перебросить кубик 1 раз. Чем больше очков выпало, тем больше наша прибыль.
Вопрос 1: Какой стратегии мы должны придерживаться, чтобы максимизировать нашу прибыль?
Вопрос 2: Чему равно математическое ожидание кол-ва очков при оптимальной стратегии?

Сперва я рассуждал по-житейски.
Математическое ожидание кол-ва очков при однократном бросании – $3,5$.
Если при первом бросании выпадает меньше $3,5$, то есть смысл перебросить, в противном случае не перебрасываем.
На этапе первого бросания выделяем полную группу попарно несовместных событий: "выпало менее $3,5$ очков" и "выпало более $3,5$ очков".
Математическое ожидание кол-ва выпавших очков при такой стратеги равно
$E = P(\text{.
5 в этой формуле – это математическое ожидание выпавших очков, когда кол-во выпавших очков больше $3,5$.
Интуиция подсказывает, что данная формула верна. Но почему – не ясно. Она похожа на формулу полной вероятности, но это не она.

Решил проверить решение более строгим подходом.
Давайте построим случайную величину $\xi_k$ выпавших очков, зависящую от параметра $k$. Если при первом бросании выпадает кол-во очков меньше или равно $k$, то перебрасываем. В противном случае не перебрасываем.
$P_k(n) = \begin{cases} \frac{k}{6}\frac{1}{6},&n\leqslant k\\ \frac{1}{6}+\frac{k}{6}\frac{1}{6},&n > k \end{cases}$ – вероятность выпадения $n$ очков при условии, что мы перебрасываем кубик, если при первом броске выпало очков меньше или равно $k$ ($n, k \in \{1,2,3,4,5,6\}$).
Математическое ожидание этой случайной величины равно:
$E(\xi_k) = (1+2+...+k)\frac{k}{6}\frac{1}{6} + ((k+1) + ...+6)(\frac{1}{6}+\frac{k}{6}\frac{1}{6}) = \frac{21k}{36}+\frac{(6-k)(k+7)}{12}$,
$\frac{d}{dk}E(\xi_k) = \frac{21}{36}-\frac{2k+1}{12}=0$,
$k=3$.
То есть, оптимальная стратегия достигается при $k=3$, а математическое ожидание выпавших очков при этой стратегии равно
$E(\xi_3) = \frac{21\cdot 3}{36}+\frac{(6-3)(3+7)}{12} = 4,25$.
Ответы совпали.
Но вопрос в другом. Мне кажется, что эта задача решается куда проще. Как обычно решаются такие задачи и как более правильно обосновать первый подход?

[Markus228]

Все верно, но что мешает экстремалить вашу первую формулу?

[Padawan]

melnikoff в сообщении #1548768 писал(а):

Она похожа на формулу полной вероятности, но это не она.

См. формулу полного математического ожидания.

[ilghiz]

обобщим задачу (пример, для какой-нибудь не сложной олимпиады) не более скольки раз мы можем перебрасывать кубик, чтобы если при первом бросании выпало не 6, то нам будет выгоднее его перебросить?

[melnikoff]

Markus228 в сообщении #1548776 писал(а):

Все верно, но что мешает экстремалить вашу первую формулу?

Ну, для начала хотелось бы понять что это за формула. Гугл не знает формулу полного матожидания.

-- 14.02.2022, 15:02 --

Padawan в сообщении #1548777 писал(а):

См. формулу полного математического ожидания.

Это, возможно, странно, но гугл не знает такой формулы.

[Someone]

melnikoff в сообщении #1548784 писал(а):

Это, возможно, странно, но гугл не знает такой формулы.

Возможно, потому, что она по-другому называется. А вообще, не надо думать, что "гугл" "знает" всё на свете.

А. А. Боровков.Теория вероятностей. Москва, "Наука", 1986.
Формулу можно найти под названием "формула полной вероятности для математического ожидания" в §§ 2 и 8 главы 4 (для разных ситуаций).