Получилось не очень уклюжее, но кажется решение.
1. Рассмотрим случай

, убедимся что он дает два решения

2. Далее достаточно рассматривать положительные

, т.к.

, и одновременная смена знака у всех трех переменных приводит к исходной системе;
3. Кроме того, все

нечетны; для

это ясно из одного из уравнений системы, а для

увидим это подставив

в следующее из системы уравнение

4. (теперь немного кривоколенное место) для достаточно больших

видим, что

, поскольку

. Для очистки совести проверим случаи

и

, увидим, что решений (в натуральных

) нет
5. Тогда запишем

и приведем исходную систему к виду

6. Решимся и подставим

из второго уравнения в первое, запишем его как квадратное относительно

:

7. Дискриминант этого уравнения

никогда не будет квадратом натурального числа, достаточно проверить случаи

и

, следовательно, больше никаких решений мы не найдем.