Вычисление A057030 за n-1 итераций

[kthxbye]

Пусть $P(n)$ последовательности $s(1),s(2),s(3),...$ находится через оставление $s(1),...,s(n-1)$ на своих позициях и реверсирование каждых $n$ последовательных членов следующих далее; применим $P(2)$ к $1,2,3,...$ чтобы получить $PS(2)$, затем применим $P(3)$ к $PS(2)$ чтобы получить $PS(3)$, затем применим $P(4)$ к $PS(3)$ и т.д. Предел $PS(n)$ есть $a(n)$ (A057030).

Последовательность начинается так

$$1, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 22, 27, 29, 40, 42, 47, 55, 66$$

Вот как это работает:

$$(1), (3, 2), (5, 4), (7, 6), (9, 8), (11, 10), (13, 12), (15, 14)$$

$$(1, 3), (4, 5, 2), (9, 6, 7), (10, 11, 8), (15, 12, 13)$$

$$(1, 3, 4), (6, 9, 2, 5) , (8, 11, 10, 7)$$

$$(1, 3, 4, 6), (11, 8, 5, 2, 9)$$

Т.е. применяя $P(n)$ мы получаем $n$-ный член последовательности. Но есть и другой путь. Пусть

$$b(n,m)=(m-n)\left\lfloor\frac{b(n-1,m)}{m-n}+1\right\rfloor - b(n-1,m)\operatorname{mod}(m-n), b(0,m)=m$$

Я предполагаю, что

$$a(n)=b(n-1,n)$$

Можно ли это как-то доказать?