Очевидные ошибки в разностях нечетных составных

[kthxbye]

Нечетные составные числа примечательны тем, что:

• значения первых разностей (за исключением разности $9-1=8$) принадлежат множеству $\left\lbrace2,4,6\right\rbrace$
• подряд идущие значения первых разностей принадлежат одному из паттернов: $\left\lbrace6\right\rbrace$, $\left\lbrace2,4\right\rbrace$, $\left\lbrace4, 2\right\rbrace$, $\left\lbrace2,2,2\right\rbrace$

Используем малую теорему Ферма по основанию $2$. Получаем простые и псевдо-простые Ферма (A001567). Создадим последовательность нечетных составных, отличных от простых и псевдо-простых Ферма. Отсутствие последних в некоторых случаях приводит к очевидным ошибкам.

Первая ошибка, которая бросается в глаза это появления десятки в первых разностях:

$$\begin{bmatrix} 637 & 639 & 649\\ - & 2 & 10 \end{bmatrix}$$

Отсюда очевидно, что одно из чисел между $639$ и $649$ - составное.

Другой, более сложный пример:

$$\begin{bmatrix} 519 & 525 & 527 & 529 & 531 & 533 & 535 & 537 & 539 & 543 \\ - & (6) & (2 & 2 & 2) & (2 & 2 & 2) & (2 & 4) \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 545 & 549 & 551 & 553 & 555 & 559 & 565 \\ (2 & 4) & (2 & 2 & 2) & \color{red}{4} & (6) \end{bmatrix}$$

Нужно обязательно начинать счет с ближайшей шестерки, чтобы не перепутать к какой четверке принадлежит в некоторых случаях та или иная двойка. В выбранном примере удается легко определить, что последней четверке не хватает двойки, отсюда очевидно, что число $561$ - составное.

Сколько еще составных из псевдо-простых Ферма можно мгновенно выделить через вычленение подобных ошибок?

Я пытался написать программу, которая будет вычленять паттерны $\left\lbrace6\right\rbrace$, $\left\lbrace2,4\right\rbrace$, $\left\lbrace4, 2\right\rbrace$, $\left\lbrace2,2,2\right\rbrace$ и если что репортить об ошибке, но успехом эти попытки не увенчались, так что буду признателен за любую помощь.

[kthxbye]

Если что, кое-как написал программку:

default(parisizemax,2^8*10^6)
n=10
vv=vector(2^n,i,0)
t=1; forstep(k=1,2^n,1, while(!if((2^t-2)%t==0,1,0), t++); vv[k]=t; t++;);
v=vector(vecmax(vv)); foreach(vv,i, v[i]=1); v
v1=vector(vecmax(vv),i,if(i==1,0,1)*i%2*(1-v[i]))
v2=select(x->(x>0),v1,1)
v3=vector(length(v2)-1,i,v2[i+1]-v2[i])
v4=vector(length(v2)-1,i,if(v3[i]==6,0,1))
v5=vector(length(v2)-1,i,0)
for(i=1,length(v2)-1,v5[i]=if(i==1,0,if(v4[i]==0,0,if(v3[i]+v5[i-1]==6,0,if(v3[i]+v5[i-1]>6,0,v3[i]+v5[i-1])))))
v6=vector(length(v2)-1,i,if(i==1,0,if(v3[i]==6,if(v5[i-1]>0,1,0))))
z=1; forstep(k=1,100,1, while(!if(v6[z]==1,1,0), z++); print(v2[z]+6-v5[z-1]); z++;);

Громоздкая конечно, и вполне вероятно, что ее можно упростить. Репортит об ошибке на ближайшей шестерке. Длинные хвосты обрабатывать не умеет. Если ошибка на шаг назад от шестерки, вот тогда да. Результат работы (до $2^{15}$):

$$\begin{bmatrix} 561 & 0 \\ 571 & 1 \\ 661 & 1 \\ 1905 & 0 \\ 1933 & 1 \\ 4423 & 1 \\ 12801 & 0 \\ 12823 & 1 \\ 18721 & 0 \\ 23001 & 0 \\ 33181 & 1 \\ 55245 & 0 \\ 62745 & 0 \\ 72885 & 0 \\ 157669 & 1 \\ 206601 & 0 \\ 332989 & 1 \end{bmatrix}$$

Нулями обозначены псевдо-простые Ферма, выделенные в ходе работы программы, а единицами - простые. Некоторые из последних можно превратить в псведо-простые Ферма, но это надо с конца искать где ошибка, а этот момент я пока не продумал.

Плюс оказалось, что правило

kthxbye в сообщении #1548155 писал(а):

подряд идущие значения первых разностей принадлежат одному из паттернов: $\left\lbrace6\right\rbrace$, $\left\lbrace2,4\right\rbrace$, $\left\lbrace4, 2\right\rbrace$, $\left\lbrace2,2,2\right\rbrace$

соблюдается далеко не всегда. По крайней мере, нарушается оно достаточно редко.

-- 07.02.2022, 00:23 --

kthxbye в сообщении #1548159 писал(а):

Плюс оказалось, что правило
kthxbye в сообщении #1548155

писал(а):
подряд идущие значения первых разностей принадлежат одному из паттернов: $\left\lbrace6\right\rbrace$, $\left\lbrace2,4\right\rbrace$, $\left\lbrace4, 2\right\rbrace$, $\left\lbrace2,2,2\right\rbrace$
соблюдается далеко не всегда. По крайней мере, нарушается оно достаточно редко.

Вру конечно, вру. Специально проверил на нечетных составных - все соблюдается. Нарушения выше обусловлены отсутствием как раз-таки псевдо-простых Ферма. Например из числа $571$, которое выдает программа нельзя получить псевдо-простое Ферма, но программа его репортит из-за отсутствия $561$.