Пентадекатлон мечты

[VAL]

Предчувствия меня не обманули.
$M(960) \ge 8$

(Оффтоп)

n = 18233150106751594934095860237972791065024638577675048543922089989514178332475145002136963594010620
n + 1 = 11^4 × 23^2 × 43 × 109 × 50671 × 603475507 × 154095200254723473565278605390554699 × 106593839592109309232112178824383238349 
n + 3 = 3^14 × 47 × 113 × 157 × 4217110056559 × 30345164338923580646724638178984377 × 35725947725463250142285220045395972747
n + 5 = 5^4 × 31^2 × 59 × 127 × 311 × 3918191195879633 × 8479189926488758457322409 × 392104830971977691182345762296835562997522787

[VAL]

Вдогонку.
$M(960) \ge 9$

(Оффтоп)

n = 1184001624110765541589408164261562985661796476003023664026411290699800724379690887941409179468419683338010620
n + 7 = 7^4 × 37^2 × 59 × 61 × 3607 × 8637779 × 59055478699677123568093365141216184793 × 54395931527248754942430148584466124386748979580073

[VAL]

"Потеряшка" 960 продолжает наверстывать упущенное.

$M(960) \ge 10$

(Оффтоп)

n = 22232703876002162291278856002391563675314856913497159734078054207219653527099460859021612148552969845409741413119770620
n + 3 = 3 × 13^4 × 53^2 × 107 × 227 × 23209049717856522817291873 × 211321975568528050022675752555180700381 × 775415047485269570980615757666953440049937 
n + 5 = 5^4 × 47^2 × 67 × 71 × 1709 × 4560319456098092443 × 26151803241551263174231649194001 × 16609036116944687679869085527914479448739780485033975843
n + 9 = 3^2 × 19^4 × 89 × 137 × 293 × 1062529699425143740399139 × 108532680984247290175073596983691 × 46010353170056341988550481713296532586794020102761

Кстати, это некий локальный рекорд. Столь длинных цепочек для таких больших $k$ еще не было.

To be continued?

PS: Если в тему все еще заглядывают специалисты по оценке $M(k)$ сверху, буду благодарен за уточнение моей "отфонарной" границы.

[VAL]

Благодаря новой таблице от 25.08 (кстати, ее, кроме Дмитрия, так никто и не скачал) случаи, для которых длинные цепочки находятся легко, видны невооруженным глазом.
На поиск приведенной ниже ушло менее 2 часов на всё про всё!
Всё - это создание шаблона, предварительная программа на maple, программа на PARI, поиск кандидатур, проверка перспективных вариантов на Aplertron'е (для других цепочек с аналогичной длиной и порядком чисел, только последние два этапа могут растянуться на недели).

$M(1944) \ge 8$

(Оффтоп)

n = 45551655702483610275536591313180733705879731384580542657994881697163569777153802259396703316380851633211789048764580656427096392099999998
n + 5 = 13^2 × 17^2 × 29^2 × 37^2 × 61^2 × 40106901409 × 347121111198979528054462632479 × 15637249590521620184622376082468738982367101676169790681440412280538621453403229517

Правда, больше таких лайтовых случаев, похоже, не осталось.