Существование собственного ортонормированного базиса

[jenja]

А как понять "Существование собственного ортонормированного базиса"????

[AD]

Ну типа ортонормированный базис, состоящий исключительно из собственных векторов какой-нибудь матрицы (оператора).

Всегда существует для самосопряженных операторов и только для них (в конечномерном случае).

[zoo]

AD писал(а):

Всегда существует для самосопряженных операторов и только для них (в конечномерном случае).

в комплексном унитарном пространстве (конечномерном) это неверно

[AD]

... Да, zoo прав.
$\mathbb{C}\!$лона-то я и забыл упомянуть.

[Narn]

AD писал(а):

Ну типа ортонормированный базис, состоящий исключительно из собственных векторов какой-нибудь матрицы (оператора).

Всегда существует для самосопряженных операторов и только для них (в конечномерном случае).

Существование ортонормированного базиса из собственных векторов равносильно нормальности оператора (коммутированию с сопряженным). В частности, это верно для самосопряженных (но не только для них).

[zoo]

Narn писал(а):

Существование ортонормированного базиса из собственных векторов равносильно нормальности оператора (коммутированию с сопряженным). В частности, это верно для самосопряженных (но не только для них).

Мальцев Основы линейной алгебры (например)

[Agathis]

Где было сказано, что рассматривается именно конечномерный случай? Даже если оператор обладает разложением единицы, это еще не означает существования собственного ортонормированного базиса. Таковой будет иметь место, если к тому же спектр оператора дискретный.

[AD]

Agathis писал(а):

Где было сказано, что рассматривается именно конечномерный случай?

Это было угадано телепатически при анализе соседних тем автора.

[Agathis]

Тогда понятно. К сожалению, смежных тем автора не изучал. И ще мне кажется, что он спросил не совсем то, что хотел. Вопрос вероятно должен был звучать, как "Что такое собственный ортонормированный базис" или "Для каких операторов такой базис существует".

[AD]

Думаю, он спросил так, как написано в списке вопросов к экзамену.

Ну типа там
"...
18. Самосопряженные операторы.
19. Существование собственного ортонормированного базиса.
20. Ортогональные операторы.
..."

[ewert]

AD писал(а):

Думаю, он спросил так, как написано в списке вопросов к экзамену.

Ну типа там
"...
18. Самосопряженные операторы.
19. Существование собственного ортонормированного базиса.
20. Ортогональные операторы.
..."

Ну тогда уж так:

"...
18. Самосопряженные операторы.
19. Существование собственного ортонормированного базиса.
20. Ортогональные операторы.
21. Существование собственного ортонормированного базиса.
..."

(на самом деле автор, скорее всего, просто среагировал на некоторые здешние реплики).

Кстати, хоть и пустячок -- тут проскочило, будто оператор должен быть с дискретным спектром. На самом деле он должен быть компактным (плюс нормальность, конечно), а "с дискретным спектром" -- это лишь обратный к компактному (обратное, вообще говоря, неверно).

[Agathis]

Вот тут позвольте не согласиться, ортонормированным базисом могут обладать, например, дифференциальные операторы, которые не то что некомпактны, но всегда неограничены.