Свойства аксиом теории вероятностей

[VoprosT]

Подскажите, где можно прочитать про категоричность, полноту, непротиворечивость аксиом теории вероятностей? Долго и безуспешно пытался что-то нагуглить.

UPD: В книге Колмогорова таки нашёл слова об этом.
"Наша система аксиом непротиворечима. Это показывает следующий пример: $\Omega$ состоит из единственного элемента $\omega$, случайными событиями будут $\Omega$ и $\varnothing$. Наша система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные поля вероятностей".

Что-то не понял, почему предъявление примера обосновывает непротиворечивость?

[slavav]

Если система аксиом теории вероятностей противоречива, то из неё можно вывести противоречие. Это противоречие можно переписать на языке примера, в данном случае на языке теории множеств. Получим противоречие в рамках теории множеств. Общепринято что теория множеств не противоречива. Тем более, что нам нужен только очень маленький её кусочек касающийся конечных множеств. Следовательно и система аксиом теории вероятностей непротиворечива.

P.S. Это место у Коломогорова загадочное. В конце концов теория вероятностей вся может быть помещена в рамки теории меры. И никто не заботится о специальном аксиоматическом построении теории меры. Колмогоров старался построить систему аксиом не зависящую от математического анализа?

P.P.S. Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»

[Mikhail_K]

slavav
Теория меры изучает любые меры на любых множествах.
А теория вероятностей изучает не любые меры. Какие именно - конкретизируется в аксиомах теории вероятностей.

К слову, аксиомы теории меры тоже вполне существуют. Они говорят о том, каким условиям должна удовлетворять функция множества, чтобы мы называли её мерой. Например, условию аддитивности или, если угодно, сигма-аддитивности. Это и есть аксиомы.

Т.е. слово "аксиома" здесь понимается в смысле "условие", "требование". Как, например, аксиомы счётности и аксиомы отделимости в топологии. Они говорят о том, что мы будем рассматривать не любые топологии, а удовлетворяющие вот этим условиям, аксиомам.

Если подумать, то между таким пониманием слова "аксиома" и пониманием аксиомы как утверждения, принимаемого без доказательства, в общем-то, нет никакого противоречия. Если мы примем аксиому отделимости Хаусдорфа без доказательства, присоединив её к аксиомам топологии и аксиомам теории множеств, то все теоремы, которые мы тогда докажем, будут справедливы для любых пространств, удовлетворяющих вот этому условию отделимости Хаусдорфа.

Никто не говорит, что теория вероятностей независима от математического анализа. Наоборот, так как в этих аксиомах присутствуют понятия множества и вещественного числа, подразумевается, что аксиомы теории вероятностей будут присоединены к аксиомам теории множеств и аксиомам вещественных чисел (если последние вводятся аксиоматически).

[novichok2018]

Меня учили, что тезис: "вся теория вероятностей сводится к теории меры" не совсем точный. Вроде понятие независимости событий не сводится, или какое-то подобное. Не может быть выражено в терминах теории меры.
остальном-да, сводится. Может я что-то перепутал.

[VoprosT]

Mikhail_K в сообщении #1547952 писал(а):

Т.е. слово "аксиома" здесь понимается в смысле "условие", "требование". Как, например, аксиомы счётности и аксиомы отделимости в топологии. Они говорят о том, что мы будем рассматривать не любые топологии, а удовлетворяющие вот этим условиям, аксиомам.

То есть как аксиомы для площади фигур на плоскости и аксиомы для определителя квадратной матрицы?

[slavav]

Mikhail_K, если аксиоматика - набор определений, нет смысла ставить вопрос о её противоречивости. Достаточно предложить модель чтобы показать существование. Разумно в этом смысле не пользоваться термином "аксиоматика теории вероятностей". "Модель теории вероятностей" лучше описывает обсуждаемую систему понятий и не ставит вопрос о её непротиворечивости.

P.S. Кажется обсуждение свелось к терминологии. По существу мы говорим об одном и том же.