2D фурье преобразование треугольника

[Lexey]

Вот Фурье квадрата $sinc(x)sinc(y)$ всем известно, и из него можно получить Фурье произвольного параллелограмма.
К сожалению произвольный многоугольник из параллелограммов не сложишь.
A вот Фурье треугольника мне в интернете найти не удалось. Почему так?

[novichok2018]

Что такое по вашему есть Фурье прямоугольника и Фурье треугольника?

[Lexey]

novichok2018 в сообщении #1547981 писал(а):

Что такое по вашему есть Фурье прямоугольника и Фурье треугольника?

2D Фурье преобразование функции, равной единице внутри данной фигуры и нулю вне ее.

[Red_Herring]

Lexey в сообщении #1547818 писал(а):

вот Фурье треугольника мне в интернете найти не удалось. Почему так

Очевидно потому, что никому не нужно, поскольку найти это тривиально: сначала для прямоугольного треуголника со сторонами, параллельными координатным осям, а потом разбиением

[Lexey]

Red_Herring в сообщении #1548031 писал(а):

Lexey в сообщении #1547818 писал(а):

вот Фурье треугольника мне в интернете найти не удалось. Почему так

Очевидно потому, что никому не нужно, поскольку найти это тривиально: сначала для прямоугольного треуголника со сторонами, параллельными координатным осям, а потом разбиением

Квадрат получить еще более тривиально (из одномерного преобразования), но в таблицах преобразований он обычно есть, а треугольника нет, и от этого создается ощущение что прямой формулы для треугольника не существует. И из двух треугольников квадрат получить куда проще чем наоборот. И к чему тут разбиенние я не понял. Из любого треугольника произвольный треугольник получается линейным преобразованием координат.

[Red_Herring]

Lexey в сообщении #1548043 писал(а):

Из любого треугольника произвольный треугольник получается линейным преобразованием координат.

Тем лучше. А почему одно в таблицах есть, а другого нет это вопрос к составителям.

[Lexey]

Red_Herring в сообщении #1548031 писал(а):

поскольку найти это тривиально: сначала для прямоугольного треуголника со сторонами, параллельными координатным осям,

Вот тут тривиальность сомнительна. Все стороны треугольника параллельными осям не сделаешь. В итоге то оно получается несложно, когда уже догадался как это можно сделать, и оказывается что параллельность координатным осям первичного треугольника тут принципиальной роли не играет (чуть упрощает выкладки и не более того).

[Red_Herring]

Lexey в сообщении #1548055 писал(а):

Вот тут тривиальность сомнительна

Речь идет, разумеется, о катетах. И посчитать этот интеграл по треугольнику тривиально.

[zykov]

Там по любому треугольнику тривиально

$$F(k_x, k_y)=\int_S e^{-2\pi i (x k_x + y k_y)} \; dx dy$$

[Lexey]

Red_Herring в сообщении #1548059 писал(а):

Речь идет, разумеется, о катетах. И посчитать этот интеграл по треугольнику тривиально.

Спасибо, теперь понял. Я не догадался решать задачу так прямолинейно (не верилось что она так решается), но нашел решение другим способом, геометрически из известного преобразования квадрата.

-- Сб фев 05, 2022 14:31:31 --

zykov в сообщении #1548061 писал(а):

Там по любому треугольнику тривиально

$$F(k_x, k_y)=\int_S e^{-2\pi i (x k_x + y k_y)} \; dx dy$$

Речь идет о формулах без интегралов.

[Red_Herring]

Lexey в сообщении #1548065 писал(а):

Речь идет о формулах без интегралов.

А взять интеграл тривиально.

[Lexey]

Red_Herring в сообщении #1548068 писал(а):

А взять интеграл тривиально.

Спасибо еще раз что ткнули меня в это носом.
Я понимаю что тут люди которым площадь круга знать не надо поскольку интеграл берется тривиально, и такие люди видимо справочных таблиц не составляют.
Но есть же люди которые далеко не каждый день берут интегралы, которым проще заглянуть в справочник.
Я бы и сам пополнил справочную таблицу в википедии, но там положено ссылаться на авторитетные источники, и аргумент "это же тривиально" не канает.
Авторитетные авторы, судя по вашим словам, не публикуют подобные вещи поскольку им это кажется слишком тривиально.
И как с этим быть?

[Lexey]

Собственно Фурье n-угольника, заданного массивом векторов вершин $p$ у меня вышло такое:

$F(r)=\sum_{j=0}^{n-1} { V(p_{j},p_{mod(j+1,n)},p_{mod(j+2,n)},r) } $,

где $V(a,b,c,r)=\frac{(a-b)\times (b-c)}{(r\cdot (a-b))(r\cdot (b-c))} e^{i(r\cdot b)}$

и мне это пахнет римановой суммой какого-то контурного интеграла, из которого можно было бы получить Фурье фигуры ограниченной каким-то сплайном.