Преобразование многочленов (школьная задача)

[marie-la]

На доске записан один многочлен $x^2-1$. Разрешены следующие действия:
1) для какого-либо многочлена с доски $f(x)$ добавить на доску $f^2(x)-1$
2) для какого-либо многочлена с доски $f(x)$ добавить на доску $f(x^2-1)$
3) для каких-либо двух многочленов с доски $f(x), g(x)$ добавить на доску $\frac{f(x)+g(x)}{2}$
Можно ли в какой-либо момент получить многочлен $P(x)=\frac{(x^2-1)^{2048}}{1024}-1$?

Никак не выходит. Я понимаю, что все многочлены будут функциями $x^2-1$, что раз в знаменателе $1024$, значит, не меньше 10 раз усреднялось. Степень $x^2-1$ в многочлене - это степень двойки, как и должно быть. Я попыталась расписать, какие многочлены степеней $2, 4$ от $x^2-1$ могут получаться, закономерности не уловила :( Помогите, пожалуйста!

[artempalkin]

Есть точка, в которой все многочлены на доске будут иметь одно и то же значение (даже, наверное, две, но это не особо важно)

[marie-la]

artempalkin в сообщении #1547842 писал(а):

Есть точка, в которой все многочлены на доске будут иметь одно и то же значение (даже, наверное, две, но это не особо важно)

Поняла, $x^2-1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Получилось, спасибо!