это материал, который изучается на мехмате МГУ на протяжении аж целого семестра, что ли.
Примерно треть семестра. Курс ТЧ на ММ состоит (состоял 10 лет назад) из трех примерно равных разделов: асимптотика количества простых чисел, иррационально

и теорема Дирихле о простых числа.
Впрочем, в английской википедии есть не очень сложное доказательство
теоремы Линдеманна, из которой трансцедентность

автоматически следует.