2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируема ли функция
Сообщение28.01.2022, 09:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Дифференцируема ли функция $f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^4}$ в точке $(0,0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение28.01.2022, 14:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ответ: да. В выражении $$\varepsilon=\frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ нужно сделать замену $\sqrt{x^2+y^2}=r$, $x=rt$, где $t \in [-1,1]$, чтобы увидеть, что $\varepsilon \to 0$ при $r \to 0$ равномерно по $t$.

Upd. Кажется, вот такое неравенство верно: $\varepsilon<Cr^{1/3}$ с константой $C=2^{2/3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение28.01.2022, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Наверное можно и так решать. Если функция дифференцируема, то её градиент в начале координат равен $\nabla f(0,0)=\{1,0\}$ . Это эквивалентно тому, что в окрестности этого начала выполняется равенство $f(x,y)=x+o(x,y)$ . Здесь очевидно $o(x,y) \sim yg(y\slash x)$ и это выражение стремится к нулю в окрестности начала координат (случай $x=0$ рассматриваем отдельно). Значит функция дифференцируема.

-- Пт янв 28, 2022 20:11:29 --

Немного дополню. Тут у меня не полное доказательство, а только краткий план его. Если надо, то можно и поподробнее написать. Открыл я учебник Тер-Крикорова-Шабунина (в соседней теме меня попросили привести определение дифференциала). И интересно, что в параграфе 26.2 этот пример решается совершенно по-другому. Не говоря о том, что определение дифференциала в этом учебнике не совсем такое, как я дал в соседней теме. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение28.01.2022, 22:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
мат-ламер в сообщении #1547316 писал(а):
Тут у меня не полное доказательство, а только краткий план его.
Самое интересное здесь --- это аккуратно доказать, что о-малое действительно является о-малым. Это не совсем очевидно.

-- Сб янв 29, 2022 02:22:35 --

мат-ламер в сообщении #1547316 писал(а):
в параграфе 26.2 этот пример решается
О как, я решил упражнение из учебника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение29.01.2022, 07:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
nnosipov в сообщении #1547325 писал(а):
Самое интересное здесь --- это аккуратно доказать, что о-малое действительно является о-малым. Это не совсем очевидно.

Согласен. У меня на бумаге были кое-какие вычисления в истинности которых я не уверен. Но я поверил, что вы всё доказали и решил этот момент не дублировать. Поэтому решил просто для случайного читателя темы показать, откуда взялось то выражение, с которого вы начали. Читателю неслучайному, конечно, и так всё ясно. И при переносе с бумаги на компьютер вкралась опечатка.
мат-ламер в сообщении #1547316 писал(а):
Здесь очевидно $o(x,y) \sim yg(y\slash x)$ и это выражение стремится к нулю в окрестности начала координат

На бумаге я доказывал стремление к нулю не этого выражения, а частного от деления этого выражения на норму двумерного вектора $\{x,y\}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение29.01.2022, 11:07 


20/04/10
1776
Рабоче-крестьянский метод: $x=a\varepsilon, y=b\varepsilon$, где $(a,b)$ единичный вектор направления выхода из начала координат, $\varepsilon$ бесконечно малая. Рассматриваем два случая $a\ne0$, $a=0$ и смотрим на линейную по $\varepsilon$ часть в разложении функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение29.01.2022, 11:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lel0lel в сообщении #1547349 писал(а):
Рабоче-крестьянский метод: $x=a\varepsilon, y=b\varepsilon$, где $(a,b)$ единичный вектор направления выхода из начала координат, $\varepsilon$ бесконечно малая.
Еще это называют перейти к полярным координатам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение29.01.2022, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
lel0lel в сообщении #1547349 писал(а):
Рабоче-крестьянский метод:

Там есть нюансы. Вообще говоря, из дифференцируемости по направлениям обычная дифференцируемость не следует. Однако, при выполнении некоторых условий, следует. Осталось разобраться, что это за условия и доказать их. См., например, Алексеев, Тихомиров, Фомин, "Оптимальное управление", п.2.2.3, следствие 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение29.01.2022, 12:26 


20/04/10
1776
мат-ламер в сообщении #1547354 писал(а):
Там есть нюансы
получается во всех случаях одна и таже дифференциальная форма, что является определением дифференцируемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение30.01.2022, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
lel0lel в сообщении #1547356 писал(а):
получается во всех случаях одна и таже дифференциальная форма, что является определением дифференцируемости.

А можно этот момент поподробнее? А то я совсем не догоняю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение30.01.2022, 14:58 


20/04/10
1776
Поигравшись с полярными координатами становится ясно, что нужно доказать следующее:
$\sqrt[3]{x^3+y^4}=x+o(\sqrt{x^2+y^2})$, при $x\to 0, y\to 0$, что почти очевидно в тех же полярных координатах, только нужна небольшая аккуратность с направлением вдоль оси $y$ и бесконечно близкими к нему. Вышеприведённое утверждение можно записать так $\sqrt[3]{x^3+y^4}=x+o(x)+o(y)$, при $x\to 0, y\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция
Сообщение30.01.2022, 17:41 


20/04/10
1776
Upd: сейчас заметил, что выше почти переписал сообщение nnosipov, это неподсознательный плагиат) так получилось, следуя определению дифференцируемости в точке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group