мера Жордана

[Alexiii]

Почему множество $\{1\times{I}\}$, где ${I}$ - множество иррациональных чисел, измеримо по Жордану? Другими словами,дано же множество точек на плоскости,абсцисса которых - единица,а ордината - иррациональное число.
Я недоумеваю,-ведь оно неограниченно,а мера Жордана определена только для огранченных множеств.

[ewert]

Alexiii писал(а):

Почему множество $\{1\times{I}\}$, где ${I}$ - множество иррациональных чисел, измеримо по Жордану? Другими словами,дано же множество точек на плоскости,абсцисса которых - единица,а ордината - иррациональное число.
Я недоумеваю,-ведь оно неограниченно,а мера Жордана определена только для огранченных множеств.

Зависит от выбора определения -- никто не может запретить доопределить меру на неограниченные.

А измеримо оно попросту потому, что фактически одномерно и, следовательно, его мера равна нулю.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Зависит от выбора определения -- никто не может запретить доопределить меру на неограниченные.

Определение меры Жордана - каноническое. и никто не вправе его менять, не меняя самого названия меры. Так что прав Alexiii:

Alexiii писал(а):

Я недоумеваю,-ведь оно неограниченно,а мера Жордана определена только для огранченных множеств.

. именно поэтому указанное множество неизмеримо по Жордану.

[ewert]

Снова ловля блох. Разница между мерами Жордана и Лебега (допустим) вовсе не в ограниченности множеств, если говорить по существу, а в наличии или отсутствии счётной аддитивности.

К тому же вовсе не факт, что иррациональные числа не подрузамевались ограниченными некоторым промежутком.

[RIP]

ewert писал(а):

Разница между мерами Жордана и Лебега (допустим) вовсе не в ограниченности множеств, если говорить по существу, а в наличии или отсутствии счётной аддитивности.

Вообще-то, мера Жордана $\sigma$-аддитивна. Разница в области определения этих мер.

[Brukvalub]

RIP писал(а):

Вообще-то, мера Жордана $\sigma$-аддитивна.

Значит, ewert думает, что мера Лебега не счетно-аддитивна Так давайте не будем его разочаровывать.

[ewert]

RIP писал(а):

ewert писал(а):

Разница между мерами Жордана и Лебега (допустим) вовсе не в ограниченности множеств, если говорить по существу, а в наличии или отсутствии счётной аддитивности.

Вообще-то, мера Жордана $\sigma$-аддитивна. Разница в области определения этих мер.

Ну хорошо, скажем так: в сигма-алгебрности; так лучше звучит?

Хотя в отсутствии сигма-алгебры говорить о счётной аддитивности как-то странно.

[AD]

Может, подразумевалось $I=[0,1]\setminus\mathbb{Q}$ или что-то типа этого?

P.S.

ewert писал(а):

никто не может запретить доопределить меру на неограниченные.

Ну и попробуйте доопределить так, чтобы все согласились, что это можно назвать мерой Жордана.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

P.P.S.

ewert писал(а):

Хотя в отсутствии сигма-алгебры говорить о счётной аддитивности как-то странно.

Да нормально. Нам и задачки такие давали - доказать, что площадь $\sigma$-аддитивна на полукольце прямоугольников.

[wotker]

RIP писал(а):

ewert писал(а):

Разница между мерами Жордана и Лебега (допустим) вовсе не в ограниченности множеств, если говорить по существу, а в наличии или отсутствии счётной аддитивности.

Вообще-то, мера Жордана $\sigma$-аддитивна. Разница в области определения этих мер.

А почему мера Жордана $\sigma$-аддитивна? тогда она автоматом будет определена и на бесконечных множествах

[AD]

Еще раз. Мера $\mu$, определенная на (произвольной) системе множеств $\mathcal{S}$, называется $\sigma$-аддитивной на $\mathcal{S}$, если

$$\mu\left(\bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)=\sum_{k=1}^\infty\mu(A_k)$$

как только $A_k$ и $\bigsqcup\limits_{k=1}^\infty A_k$ лежат в $\mathcal{S}$. Если изначально не предполагать, что объединение лежит в $\mathcal{S}$ (то бишь измеримо), то определение теряет смысл.

То есть так и надо понимать: если никакое измеримое множество не представляется в виде дизъюнктного объединения других, то любое отображение $\mu\colon\mathcal{S}\to\mathbb{R}^+$ будет мерой, и причем $\sigma$-аддитивной.

[wotker]

Вы выбрали мн-во которое самым первым приходит в голову. Тогда мне не понятно - почему каждый элемент сигма-кольца измерим по Жордану.

[AD]

Ниччё не понял. Где я выбрал множество? Какого сигма-кольца?

[wotker]

Мне показалось, что вы ввели множество S как сигма-кольцо. Это не принципиально. Вопрос в другом. элементом S является измеримое мн-во. почему оно будет измеримо по Жордану

[AD]

wotker писал(а):

Вопрос в другом. элементом S является измеримое мн-во. почему оно будет измеримо по Жордану

Я этого не утверждал.

Мера всегда вводится на каком-то множестве множеств $\mathcal{S}$. После этого множества из $\mathcal{S}$ по сложившейся традиции* начинают называть измеримыми в смысле этой меры.

В теории меры Лебега и Жордана такие классы множеств описываются условием равенства внешней и внутренней меры, например.

То есть еще раз объясняю. Я вам дал некое общее определение, что такое $\sigma$-аддитивная мера вообще. Чтобы объяснить, что из $\sigma$-аддитивности совсем не следует, как вы неявно предположили всвоих рассуждениях, заданность на $\sigma$-алгебре.

То есть когда вы говорите фразы типа "мера ведь $\sigma$-аддитивна, почему же тогда такое-то множество, представимое счетным объединением измеримых множеств, неизмеримо?", вы не правы по указанной выше причине. В принципе, можно из $\sigma$-алгебры измеримых по Лебегу множеств выкинуть какое-нибудь одно множество, то мера останется $\sigma$-аддитивной, хотя и задана будет фиг-знает-на-чем, а меру выкинутого множества будет легко "угадать" из соображений аддитивности.

Вывод. Если вам влом читать эти все мои романы-эпопеи, прочтите хотя бы это: в определении $\sigma$-аддитивности не утверждается, что счетные объединения должны быть измеримыми. Утверждается лишь, что если они вдруг оказываются измеримыми, то и мера у них должна быть какой надо.
_________________
* событие, произошедшее дважды - уже традиция ©