2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Существование ортогонального базиса
Сообщение23.01.2022, 21:48 
У Винберга есть следующая теорема:
Винберг, стр. 214 писал(а):
Теорема 1.Для любой симметрической билинейной функции существует ортогональный базис.
Дальше идет доказательство этой теоремы. Дело в том, что я не вижу в нем необходимость быть форме именно симметрической. Достаточно ей быть (косо)симметрической (т.е. симметрической или кососимметрической или и той и той). Верно ли я понимаю, что слово "симметрической" в формулировке можно обобщить до (косо)симметрической?

После доказательства теоремы 1 там идет такой текст: "Следующая теорема дает более явный способ построения орто­гонального базиса (при ограничениях, указанных в ее формулировке). " И дальше идет процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Эта сноска меня еще больше убеждает, что симметричность в этой теореме 1 (про просто существование ортогонального базиса) можно заменить на (косо)симметричность. Но хотелось бы убедиться.

 
 
 
 Re: Существование ортогонального базиса
Сообщение23.01.2022, 22:24 
Аватара пользователя
А что такое ортогональный базис для кососимметрической формы? Например, если на $\mathbb{R}^2$ задана форма $x_1y_2-x_2y_1$, то какой базис будет?

 
 
 
 Re: Существование ортогонального базиса
Сообщение23.01.2022, 23:22 
Red_Herring, спасибо! До меня дошло. Я забыл, что квадратичные формы определяются только для симметричных билинейных. Я почему-то думал, что для (косо)симметричных. В доказательстве теоремы 1 используется взаимно-однозначное соответствие между билинейными формами и квадратичными. Здесь билинейные - обязательно симметричные билинейные, а я это забыл. Вопрос можно считать решенным.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group