Коммутативность произведения взаимно простых перестановок

[Sinoid]

Здравствуйте! Пока то да се, помогите мне, пожалуйста, в следующем. Давным-давно я начал читать книгу "Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и перестановки". И там на стр. 42-43 есть такое доказательство:

Мне тут все понятно, кроме последнего перехода: почему получилось, что $(c)\varphi=c$??? Хоть убей, не пойму. Все извилины заплел .

[xagiwo]

(попробую вас запутать) Давайте попробуем от обратного. Пусть вы доказали, что $c$ — неподвижная точка $\varphi$. Из чего это могло следовать?

[lel0lel]

Для $\psi$ и $\phi$ точка не может быть одновременно подвижной. Потому если $\psi$ её двигает, то $\phi$ получившийся результат уже не будет двигать. Остаётся маленькое рассуждение: почему результат также подвижен относительно $\psi$?

[Sinoid]

Так. Пока напишу, что пришло в голову. Начинал ночью, но не успел. Вот это:

lel0lel в сообщении #1546505 писал(а):

почему результат также подвижен относительно $\psi$?

По условию (верх стр. 43) $a-$неподвижная точка перестановки $\varphi$ Допустим обратное, т. е., что $c-$ неподвижная точка $\psi$: $(c)\psi=c$. По условию $c=(a)\psi$. Значит, $((a)\psi)\psi=(a)\psi$. Т. к. $\psi-$перестановка, то для него существует обратное преобразование $\psi^{-1}$, а тогда $(((a)\psi)\psi)\psi^{-1}=((a)\psi)\psi^{-1}$. Т. к. умножение перестановок (преобразований) ассоциативно, то $((a)\psi)(\psi\psi^{-1})=(a)(\psi\psi^{-1})$. Окончательно $(a)\psi=a$. Итак, получили, что $a-$неподвижная точка и перестановки $\psi$. Пока противоречия не вижу: взаимно простым перестановкам определение не запрещает иметь общие неподвижные элементы. И на фото приведен пример взаимно простых перестановок в том числе и с этим случаем: в обеих перестановках, например, 8 переходит в 8.

[пианист]

Мне кажется, доказательство такого факта вообще читать незачем, он вполне очевиден.
Помедитировать пять минут, убедиться, что да, и дальше двигаться.

[Sinoid]

пианист
и тем не менее.

[lel0lel]

Есть три множества: первое -- на нём "играет" одна перестановка, второе -- на нём играет вторая, третье -- на нём обе не играют. Если точка из третьего, то её сдвинуть этими перестановками невозможно, какую бы комбинацию их мы не выбрали. И ни одна перестановка не может точку из одного множества перевести в другое.

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1546583 писал(а):

Если точка из третьего, то её сдвинуть этими перестановками невозможно, какую бы комбинацию их мы не выбрали.

Пока получили, что третьему принадлежит $c$.
lel0lel, вы можете это расписать формулами?

[lel0lel]

Так всё расписано в учебнике, рассмотрите все три случая по аналогии с учебником. Просто я сейчас с телефона, неудобно набирать. Тем более это будет полное решение, что запрещено в ПРР)

Но лучше не спешите набирать формулы, а подумайте, важно понять саму суть почему коммутируют.

Есть такая японская притча: в старые времена, в императорском саду был сад камней. В нём трудились два садовника, а камни были белые, черные и красные. Первый садовник был специалист по белым камням, в свою смену он переставлял их по некоторому, одному ему известному алгоритму, другие камни он не трогал. Второй садовник был специалист по чёрным камням, в свою смену он переставлял только их. Красные камни были очень ценные, их никто не переставлял. Император считал, что сад вечером выглядит великолепно, только если первый садовник работает утром, а второй днём. Но жена его спорила с ним, говоря, что когда второй работает утром, а первый днём, то у неё вечером улучшается самочувствие от прогулки по саду. В связи с этим, смены садовников каждый день менялись местами, чтобы все были довольны.

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1546590 писал(а):

важно понять саму суть почему коммутируют.

Понятно, что важно. Почему и весь сыр-бор.

-- 21.01.2022, 02:45 --

lel0lel в сообщении #1546583 писал(а):

Есть три множества: первое -- на нём "играет" одна перестановка, второе -- на нём играет вторая, третье -- на нём обе не играют.

Это же нужно рассмотреть отдельно случай каждого из следующего множества:
$M_{1}=\left\{p\mid(p)\phi\ne p\wedge(p)\psi=p\right\}$,
$M_{2}=\left\{ q\mid(q)\phi=q\wedge(q)\psi\ne q\right\}$,
$M_{3}=\left\{ r\mid(r)\phi= r\wedge(r)\psi = r\right\}$?

[Otta]

(Оффтоп)

О, как я хочу быть садовником по красным камням...

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1546641 писал(а):

$M_{1}=\left\{p\mid(p)\phi\ne p\wedge(p)\psi=p\right\}$,
$M_{2}=\left\{ q\mid(q)\phi=q\wedge(q)\psi\ne q\right\}$,
$M_{3}=\left\{ r\mid(r)\phi= r\wedge(r)\psi = r\right\}$?

Тогда получается, что $a\notin M_{1},\, a\notin M_{3}$, а $a\in M_{2}$ и только $a\in M_{2}$, значит, $(a)\psi\ne a$, т. е. $c\ne a$ и тогда становится еще интереснее: тогда совершенно непонятно, зачем нужно было делать замечание в скобках

Цитата:

если $a$ является неподвижной ..., то $a=c$

[Dan B-Yallay]

Sinoid в сообщении #1546499 писал(а):

почему получилось, что $(c)\varphi=c$???

Потому, что если перестановка $\psi$ перевела $a$ в $c$, то она должна перевести куда-то и саму $c$, а значит $c$ является подвижной точкой для $\psi$. Но тогда $c$ неподвижна для $\varphi$ - в силу взаимной простоты перестановок $\to (c)\varphi = c$

[Sinoid]

Dan B-Yallay в сообщении #1546785 писал(а):

Потому, что если перестановка $\psi$ перевела $a$ в $c$, то она должна перевести куда-то и саму $c$, а значит $c$ является подвижной точкой для $\psi$. Но тогда $c$ неподвижна для $\varphi$ - в силу взаимной простоты перестановок $\to (c)\varphi = c$

Точно!! По условию $(a)\psi=c$. Пусть $(c)\psi=b$. Тогда возможны 2 случая:
1) $\fbox{\ensuremath{b=c}}$. Тогда $(a)\psi=(c)\psi$ и $a=c$, что, ввиду этого:

Sinoid в сообщении #1546641 писал(а):

т. е. $c\ne a$

невозможно;
2) $\fbox{\ensuremath{b\ne c}}$. Тогда $c$ подвижна для $\psi$, а, значит, неподвижна для $\varphi$: $(c)\varphi=c$
Все, в этой части вопросов не осталось. Большое спасибо! Столько времени эта непонятка сидела в голове...

-- 22.01.2022, 18:56 --

Ну, а все-таки зачем замечание в скобках?

Цитата:

если $a$ является неподвижной ..., то $a=c$

[Dan B-Yallay]

Sinoid в сообщении #1546834 писал(а):

Ну, а все-таки зачем замечание в скобках?

Просто напоминание определения неподвижной точки для тех, кто уже успел забыть к тому времени.