Непустой интервал в замкнутом множестве ненулевой меры

[artempalkin]

Добрый день всем!

Верно ли, что каждое замкнутое множество положительной меры на прямой содержит хотя бы один непустой интервал?

Не вижу явных путей, чтобы подступиться. Замкнутое множество может быть и неограниченным, то есть рассмотреть какое-то простое замкнутое или открытое множество конечной, в котором оно лежит, не получится. Подскажите, с чего начать!

[Null]

Неверно. Выкиньте из отрезка $[0;1]$ интервалы суммарной длинной $\frac{1}{2}$, чтобы из любого интервала был выкинут кусок.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1546158 писал(а):

Замкнутое множество может быть и неограниченным, то есть рассмотреть какое-то простое замкнутое или открытое множество конечной, в котором оно лежит, не получится

Если возникают такие сомнения то действительно часто может быть удобно решать с какими-то дополнительными ограничениями. Либо произвольно их ввести и посмотреть, что получится - если множество построить получится, то это сразу ответ, если нет - то по крайней мере станет явно видно, где эти дополнительные условия использовались.
В данном случае легко можно сразу доказать, что если есть контрпример, то есть и ограниченный контрпример: пересечение множества положительной меры с каким-то отрезком $[-n, n]$ тоже имеет положительную меру, если в исходном множестве не было непустых интервалов то и в пересечении их не будет - вот мы и сделали из произвольного контрпримера ограниченный. Можно теперь применить к нему преобразование $x \to \frac{x + n}{2}$, и сказать что если контрпример вообще есть, то он есть и на отрезке $[0, 1]$.

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1546158 писал(а):

Верно ли, что каждое замкнутое множество положительной меры на прямой содержит хотя бы один непустой интервал?

Неверно. Толстое канторово множество.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1546161 писал(а):

В данном случае легко можно сразу доказать, что если есть контрпример, то есть и ограниченный контрпример: пересечение множества положительной меры с каким-то отрезком $[-n, n]$ тоже имеет положительную меру, если в исходном множестве не было непустых интервалов то и в пересечении их не будет - вот мы и сделали из произвольного контрпримера ограниченный. Можно теперь применить к нему преобразование $x \to \frac{x + n}{2}$, и сказать что если контрпример вообще есть, то он есть и на отрезке $[0, 1]$.

На $2n$ вы имели в виду. Да согласен, очень хороший подход для упрощения взгляда на задачу, спасибо!

Padawan в сообщении #1546228 писал(а):

Неверно. Толстое канторово множество
.

Ого, надо же, даже такие множества бывают. Я уже настолько привык, что разные хитрые множества на единичном отрезке имеют меру либо $0$, либо $1$, что думал, что это по большому счету всегда будет верно.
Более того, раньше я пытался строить множества, подобные канторову, но всегда получал меру ноль. Теперь буду знать, что, оказывается, бывают и другие. Спасибо!