Доказать выражения

[dima_1985]

1) Доказать, что для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Справедливо неравенство
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{n}}> \sqrt{n} $ . Решение. Для $n=2, 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} >\sqrt{2} $ выполняется. Выпишем выражение для $n=k,n=k+1$. $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{k}}> \sqrt{k} $ и $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{k}} +\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} $. Вычтем из второго первое и получим $\frac{1}{\sqrt{k+1}} >\sqrt{k+1}-\sqrt{k} $. Теперь покажем, что неравенство выполняется. Несколько преобразований и мы получим $\frac{-k}{k+\sqrt{k^2+k}}<0$. Неравенство верно. Отсюда следует, что слагаемое которое добавляется в левую часть неравенства больше чем слагаемое которое добавляется к правой части. Исходное неравенство верно!

2)$2^2^n-6$ делиться на 10 для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Решение. Для $n=2, 2^4-6=10 $ выполняется. Предполагаем, что выполняется для $n=k,2^{2^{k}}-6$. Делаем шаг $n=k+1,(2^{2^{k}})^2-6$.Выражение $2^{2^{k}}$ заканчивается на 6 квадрат тоже будет заканчиваться на 6. $6-6=0$ следует исходное выражение делится на 10

3)$7^n+3n-1$ делиться на 9 для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Решение. Для $n=2, 49+6-1=54 $ выполняется. Предполагаем, что выполняется для $n=k,7^k+3k-1$. Делаем шаг $n=k+1,7\ast7^k+3k+2$. Тогда $7\ast7^k+3k+2-7^k-3k+1=7^k(7-1)+3$. Выражение $7^k(7-1)+3$ должно делиться на 9. Выражение $7^k \ast 2+1$ должно делится на 3. При делении на $7^k$ остаток 1.Тогда $2\ast1+1$ остаток 0. При $n=k+1$ выражение делиться на 9, так как к выражению которое делиться на 9 прибавили выражение которое тоже делится на 9. Сумма тоже будет делится на 9. Исходное выражение будет делится на 9.

Подскажите пожалуйста в чем я не прав. Спасибо большое !!!

[lel0lel]

Вы везде использовали математическую индукцию, это удобно и правильно в подобных случаях. А теперь попробуйте решить эти же задача без использования индукции, будет полезно, да и спортивный интерес.

dima_1985 в сообщении #1546127 писал(а):

Вычтем из второго первое и получим $\frac{1}{\sqrt{k+1}} >\sqrt{k+1}-\sqrt{k} $

Здесь следует аккуратнее действовать. Пример почему: $7>6$ и $8>7.5$, вычтем из второго первое, получим...?

[Someone]

dima_1985 в сообщении #1546127 писал(а):

Вычтем из второго первое и получим

Неравенства с одинаковыми знаками нельзя вычитать, их можно только складывать.

[novichok2018]

Чтобы поучиться, есть хорошая книжка: Соминский. Метод математической индукции.

[dima_1985]

dima_1985 в сообщении #1546127 писал(а):

1) Доказать, что для любого $n\in \mathbb{N} , n \geqslant 2$. Справедливо неравенство
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} +....+\frac{1}{\sqrt{n}}> \sqrt{n} $

Может тут нужно чуть аккуратней?
Левую часть неравенства обозначим через $S_{n}$.
1) Проверим для $S_{2}=1 + \frac{1}{\sqrt{2}};S_{2}> \sqrt{2} $
2) Допустим справедливость для $S_{k}>\sqrt{k}$
3) Докажем справедливость для $S_{k+1}>\sqrt{k+1}$.Вычтем из $S_{k+1}-S_{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Покажем что $ \frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k+1} -\sqrt{k} $.После преобразований $ \frac{-k}{k+\sqrt{k^2+k}}<0 $.
Исходное неравенство верно(на каждом шаге к левой части неравенства прибавляем число большее чем прибавляем к правой части )

[TOTAL]

dima_1985 в сообщении #1546629 писал(а):

3) Докажем справедливость для $S_{k+1}>\sqrt{k+1}$.Вычтем из $S_{k+1}-S_{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Покажем что $ \frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k+1} -\sqrt{k} $.После преобразований $ \frac{-k}{k+\sqrt{k^2+k}}<0 $.
Исходное неравенство верно(на каждом шаге к левой части неравенства прибавляем число большее чем прибавляем к правой части )

3) Складывая $S_{k}>\sqrt{k}}$ и $ \frac{1}{\sqrt{k+1}}> \sqrt{k+1} -\sqrt{k}= \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$, получаем $S_{k+1} >\sqrt{k+1}}$.

[novichok2018]

dima_1985 -первое неравенство просто очевидно: замените каждое слагаемое на последнее, которое самое маленькое.